Derivados

PROCESOS ESTOCASTICOS

Un proceso estocástico describe la evolución temporal de una variable aleatoria.

• Tipos de procesos estocásticos:

de tiempo discreto: aquel en el que la variable puede cambiar de valor únicamente en instantes concretos del tiempo

de tiempo continuo: aquel en el que la variable puede cambiar de valor en cualquier instante del tiempo

de variable discreta: aquel en el que la variable sólo puede tomar determinados valores discretos

de variable continua: aquel en el que la variable puede tomar cualquier valor de la recta real

NOTA: el objetivo será deducir un proceso estocástico de variable continua y en tiempo continuo adecuado para describir el comportamiento de variables económico financieras (precios de las acciones, rendimientos de activos, tipos de interés...)

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN PROCESO ESTOCÁSTICO

Sabemos que el comportamiento de una variable aleatoria se describe mediante una adecuada distribución de probabilidad. En un proceso estocástico el comportamiento de la variable aleatoria considerada varía en el tiempo. Por tanto, la distribución de probabilidad utilizada para describirla también podrá variar en el tiempo.

Cuando se está modelizando un fenómeno real, resulta difícil establecer directamente cual va ser la distribución de probabilidad adecuada, asi como determinar cómo van a variar sus parámetros en el tiempo.

Por ello es frecuente que los procesos estocásticos vengan dados mediante ecuaciones, similares a las de los modelos discretos en diferencias finitas que aparecían en el ejemplo del tema 1. En dichas ecuaciones se relaciona el valor de la variable aleatoria (x_t ) en el instante t, con su valor en el instante anterior (x_(t-1) ).

Ahora bien, para que una ecuación en diferencias sea estocástica es necesario que en su expresión intervenga una variable aleatoria estándar ξt.. De este modo el valor de x_t no se deduce de forma determinista a partir del valor de x_(t-1), sino que depende también del comportamiento de la variable aleatoria ξt.

ξt inducirá en x_t una distribución de probabilidad variable en el tiempo. Es decir, x_t seguirá un proceso estocástico.

El Proceso de Wiener1

El proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo que se caracteriza por tener tres propiedades importantes:

Es un proceso de Markov. Lo que significa que la distribución de probabilidad de todos los valores futuros del proceso depende únicamente de su valor actual, no siendo afectada por sus valores pasados, ni por ninguna otra información actual. Por tanto, el valor actual del proceso es la única información necesaria para realizar la mejor estimación de su valor futuro. El proceso de Wiener es un tipo de proceso de Markov con una media nula y una varianza anual igual a la unidad →∅ (0,1)

Tiene incrementos independientes. Lo que significa que la distribución de probabilidad de los cambios en el proceso en cualquier intervalo temporal es independiente de la de cualquier otro intervalo. Así pues, si la variable aleatoria z sigue un proceso de Wiener sus variaciones (∆z) para cualesquiera dos pequeños intervalos de tiempo (∆t) son independientes.

Las variaciones en el proceso (∆z) producidas en un intervalo finito de tiempo (∆t) se distribuyen normalmente, con una varianza que aumenta linealmente con el tamaño del intervalo temporal. Por tanto, (∆z)=ϵ√∆t donde ϵ es una variable aleatoria del tipo ∅ (0,1)).

El proceso de Markov implica que sólo la información actual es importante a la hora de establecer los valores futuros esperados del proceso. Así, por ejemplo, los precios de las acciones se pueden modelizar como un proceso de Markov desde el momento en que la información pública es incorporada rápidamente en el precio actual del título, lo que implica que la evolución histórica de los precios no tiene ningún interés de cara a predecir su comportamiento futuro (esta es la base de la denominada “forma débil de eficiencia del mercado”).

El hecho de que un proceso de Wiener tenga incrementos independientes implica que podamos considerarlo como una versión en tiempo continuo de un recorrido aleatorio. A fin de cuentas el proceso de Wiener se obtiene como el límite de la suma de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente; por ello, tiene una distribución normal.

Cuando nos referimos a los precios de las acciones no parece razonable suponer que las variaciones en los precios sigan una distribución normal, entre otras cosas, porque el precio nunca podrá ser inferior a cero. Parece más lógico suponer que los cambios en los precios (los rendimientos) siguen una distribución logarítmico-normal o logonormal, es decir, que los cambios en los logaritmos de los precios se distribuyen según una normal. Lo que significa modelizar el logaritmo del precio como un proceso de Wiener en lugar del propio precio. De esta manera el proceso de Wiener se convierte en una pieza básica del rompecabezas que nos va a servir para modelizar un gran número de variables que varían continuamente o estocásticamente a través del tiempo.

PROCESOS DE MARKOV

PROCESOS DE WIENER

PROPIEDADES DEL PROCESO WIENER

Para un intervalo temporal Δt dado, el incremento de la variable aleatoria Δx se distribuye según una normal de media 0 y varianza Δt.

Supongamos que queremos estudiar el comportamiento de Δx en un intervalo de tiempo relativamente amplio [0, T]. Procedemos como sigue:

Subdividimos el intervalo [0,T] en q subintervalos de longitud Δt=T/q

Aplicamos la fórmula del proceso de Wiener a cada subintervalo y sumamos miembro a miembro las ecuaciones obtenidas:

Como las variables aleatorias ξi son independientes y se distribuyen según una normal N(0,1), entonces ∑▒ε_i se distribuye según una normal de media la suma de las medias y de varianza la suma de las varianzas. Por tanto, x_T-x_0 - sigue una distribución normal de media y varianza:

Movimiento Browniano aritmético

Un movimiento Browniano aritmético (MBA) es un proceso estocástico definido en términos de un proceso de Wiener del modo siguiente:

PROPIEDADES DE LOS MBA

Para un intervalo tempora ∆t dado, el incremento de la variable aleatoria ∆x se distribuye según una normal de media μ∆t y varianza σ^2 ∆t.

Como Δz es un proceso de Wiener, sabemos que sigue una distribución de probabilidad normal de media 0 y varianza Δt .Entonces Δx seguirá también una distribución normal. Veamos cuál es su media y su varianza:

Supongamos que queremos estudiar el comportamiento de Δx en un intervalo de tiempo relativamente amplio [0,T]. Procedemos como sigue:

Subdividimos el intervalo [0,T] en q subintervalos de longitud Δt=T/q

Aplicamos la fórmula del MBA a cada subintervalo y sumamos miembro a miembro las ecuaciones obtenidas:

Como las variables aleatorias ξi son independientes y se distribuyen según una normal N(0,1), entonces ∑▒ε_i se distribuye según una normal de media la suma de las medias y de varianza la suma de las varianzas. Por tanto, xT - x0 sigue una distribución normal de media y varianza:

Movimiento Browniano geométrico

Un movimiento Browniano geométrico (MBG) es un proceso estocástico dado por:

Notemos que:

Es decir, que el cociente del incremento de la variable dividido entre el valor anterior de la variable sigue un MBA. Este hecho será utilizado para estudiar la rentabilidad de una acción cuando x representa el precio de dicha acción.

INTEGRAL ESTOCÁSTICA PROCESOS DE DIFUSIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS

Los movimientos brownianos se basan en la definición del proceso de Wiener. Las trayectorias del proceso de Wiener son continuas pero no derivables. Por tanto el paso de un proceso estocástico de tiempo discreto a otro de tiempo continuo no es inmediato. Requiere de la construcción de una nueva herramienta matemática: la integral estocástica

En general podemos definir procesos estocásticos cuyos incrementos dependen de un proceso de Wiener. Un proceso de Itô o proceso de difusión es un proceso de Wiener generalizado en el que los parámetros μ y σ son ahora funciones de la propia variable y del tiempo:

Si en la ecuación anterior hacemos tender Δt → 0, entonces, en tiempo continuo, se puede escribir formalmente:

La variable estocástica xt está definida si en la ecuación integral siguiente las integrales que aparecen tienen sentido y son calculables:

LEMA DE ITO

Un proceso de Itô o proceso de difusión es un proceso de Wiener generalizado en el que los parámetros μ y σ son ahora funciones de la propia variable y del tiempo

Sea xt un proceso de difusión cuya dinámica es:

APLICACIÓN DEL LEMA DE ITO AL ESTUDIO DEL MGB

Luego y, sigue un MBA de parámetros μ-1/2 σ^2 y σ

Aplicando los resultados del MBA se tiene que:

Si suponemos ln x0 conocido, entonces:

Como y_t=ln⁡〖x_t 〗, entonces x_t=e^yt

Calculemos el valor esperado y la varianza:

Sabemos que si y_t, sigue una distribución normal, entonces:

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