Distribuciones Estadisticas

3.1.1 Variables aleatorias

En cualquier experimento aleatorio tenemos resultados cualitativos o

cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio matemático, a cada uno de estos

resultados le hacemos corresponder un número real.

Por ejemplo, el resultado de tomar un español al azar y medir su estatura es un

número; el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número de hijos es un

número; el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y observar si se cura o no,

es un dato cualitativo, que puede convertirse en cuantitativo asignando un "1" al

enfermo que se cura y un "0" al enfermo que no se cura.

En realidad lo que estamos haciendo es asignar a cada suceso del espacio muestral

un número, pero esta asignación no tiene por qué ser única.

Pongamos un ejemplo: lanzamos dos dados al aire y a cada suceso elemental le

podemos asignar la suma, el producto, etc., de los números que aparecen en las caras

superiores.

Al igual que los resultados de un fenómeno aleatorio no son predecibles, los

resultados de una variable aleatoria tampoco lo son, pero podemos calcular la

probabilidad de que ocurra un determinado suceso.

A veces puede ocurrir que los valores que toma la variable aleatoria son los

mismos, pero no ocurre lo mismo con las probabilidades. Pongamos un ejemplo.

Se dispone de dos fármacos A y B distintos para curar una misma enfermedad; los

resultados de la variable aleatoria solamente pueden ser 1 ó 0 y uno de ellos puede

curar el 20% de los casos y el otro el 70%.

Para tener identificada una variable aleatoria no basta con indicar los valores que

pueda tomar, hay que indicar también sus probabilidades.

Una variable aleatoria X es toda función que toma diversos valores

numéricos (dependientes del resultado de un fenómeno aleatorio) con

distintas probabilidades.

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Cuando la variable aleatoria toma un número finito o infinito numerable* de

valores, diremos que es una "variable aleatoria discreta".

Veamos ejemplos:

En el caso del lanzamiento de un dado perfecto, la variable aleatoria X= "número

que sale en la cara superior" puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con

probabilidades P(X)={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.

Si consideramos la variable aleatoria X= "número de varones en una familia de

dos hijos", X={0, 1, 2} y P(X)={1/4, 1/2, 1/4}.

(Observar el espacio muestral del experimento aleatorio).

En general diremos, que una variable aleatoria discreta estará identificada si

conocemos sus posibles valores X = {x1,x2 , ...,xn} y sus respectivas

probabilidades P(X = xi ) = Pi

Observemos que la suma de las probabilidades es 1: Pi

i

! = 1

A toda regla que permita asociar a cada valor xi de la variable aleatoria su

probabilidad Pi, la llamaremos "función de probabilidad".

Tal función de probabilidad puede venir dada por una tabla:

X 0 1 2

P(X) 1/4 1/2 1/4

o bien por una fórmula matemática.

También podemos definir la variable aleatoria a través de la "función de

distribución".

F(X) = P(X ! x)

* Un conjunto infinito A se dice que es numerable si se puede establecer una aplicación

biyectiva f entre el conjunto de los naturales y A.

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F(X) no es más que la probabilidad de que la variable X tome valores menores o

iguales que x.

En el ejemplo anterior:

F(0) = P(X ! 0) = P(X = 0)

F(1) = P(X !1) = P(X = 0) + P(X = 1)

F(2) = P(X ! 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

De un modo

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