DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS

Índice

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Variables Aleatorias 03

Variable Aleatoria Discreta 03

Variable Aleatoria Continua 03

Distribución De Pascal 03

Distribución Binomial 06

Distribución Hipergeométrica 09

Distribución De Poisson 12

Distribución Geométrica 14

Distribución Multinomial 17

La Distribución De Poisson Como Una Aproximación A La Binomial 20

Relación Entre Las Distribuciones Binomial Y Pascal 20

Bibliografía 21

Introducción

Una distribución de probabilidad nos indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas.

Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento cualquiera se realice en el futuro, este constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros o pasados considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Variables Aleatorias

En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos.

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto. Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos. El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados.

Variable Aleatoria Discreta

Definición:

Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87.

Variable Aleatoria Continua

Definición:

Una variable aleatoria es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.

Distribución De Pascal

En estadística una distribución de Pascal es el número de experimentos de Bernoulli de parámetro independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .

Características:

Su función de probabilidad es:

Para enteros x mayores o iguales que k, donde

.

Su media es:

Si se piensa en el número de fracasos únicamente y

Si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su varianza es

En ambos casos.

Ejercicio Resuelto:

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

La solución es:

Primer Ejercicio Propuesto:

En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que el quinto (5) articulo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\1-1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso.

Segundo Ejercicio Propuesto:

Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?

Tercer Ejercicio Propuesto:

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2. Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3. Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Cuarto Ejercicio Propuesto:

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Distribución Binomial

La distribución Binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes características:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4) Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de‚ éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestra estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular el valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia.

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:

Media = μ = n p

Varianza = σ2 = n p q

Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:

Ejercicio Resuelto:

Primer Ejercicio Propuesto:

Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

Segundo Ejercicio Propuesto:

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

- Las cinco personas.

- Al menos tres personas.

- Exactamente dos

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