Las funciones de costo y de demanda de una empresa

1.- Las funciones de costo y de demanda de una empresa son C(x)= 4x y p= 49 – 4,5x, respectivamente. ¿Cuál es el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa?

U = (IT – CT)

U = (P * Q) – CT

IT = P * Q

IT = (49 – 4,5x) x

IT = 49x – 4,5 x²

CT = 4x

U = 49x – 4,5x² - 4x

U = 45x  - 4,5x²

U(x) = 45x – 4,5 x²

U’(x) = 45x – 4,5 x²

U’(x) = 45 – 9x

45 – 9x = 0

9x = 45

X = 5

Respuesta:

El nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa es de 5 unidades.

2.- Una entidad financiera lanza al mercado un producto de inversión, cuya rentabilidad R(x) en miles de dólares está dada en función de la cantidad que se invierta, por medio de la siguiente expresión: 

R(x) = -0,002x2 + 0,3x + 2,4 (x en miles de dólares) ¿Qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en este nuevo producto? 

R (x) = -0,002x² + 0,3x + 2,4

R’(x) = -0,004x + 0,3

-0,004x + 0,3 = 0

0,004x = 0,3

X = 75

Respuesta:

Al cliente le conviene invertir US$ 75.000.-

3.- Determine los excedentes del consumidor y del productor de un producto (en dólares) cuyas funciones de demanda y oferta son D(x) = -12x + 48 y O(x) = 4x2 + 4x 

Desarrollo

D (x) = -12 x + 48

O (x) = 4x ² + 4x

Puntos de Equilibrio

-12x + 48 = 4x² + 4x

4x² + 16x – 48 = 0

Formula Cuadratica

[pic 1]

X = [pic 2]

X = [pic 3]

X1=  =  = 2[pic 4][pic 5]

X2 = [pic 6]

X2 =  = -6[pic 7]

Y1 = 24

Y2 = 120

P1 = (2 ; 24)

P2 = (-6 ; 120)

Consumidor

EC = 72 – 48 = US$ 24[pic 8]

= [pic 9]

= -12 [pic 10]

=  + 48x [pic 11]

= -6x² + 48x

F (2) – F (0) = -6 (2)² + 48 (2) – 0

= 72

Productor

EP = (2) (24) -  = 48 -  =  = US$ 29,3 [pic 12][pic 13][pic 14]

= [pic 15]

= 4 [pic 16]

= 4  + [pic 17][pic 18]

=  + 2x²[pic 19]

= [pic 20]

F (2) – F(0) = [pic 21]

= [pic 22]

La ganancia que produce la fabricación de x kilos de un producto está dada por la función g(x) = -x2 + 16x -15. Por razones técnicas, la producción no puede sobrepasar los 15 kilos. ¿Cuántos kilos produce la mayor ganancia? 

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