Medida Aproximada de Figuras Amorfas

“Medida Aproximada de Figuras Amorfas.”

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área. La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada, estas son:

1.- Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

2.- La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y.

3.- Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

4.- Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

*GRAFICA

*Ejemplo:

A1=(.5)(0) =0

A2=(.5)(.25) =.125

A3=(.5)(1) =.5

A4=(.5)(2.25) =1.125

A5=(.5)(4) =2

A6=(.5)(6.25) =3.125

A7=(.5)(9) =4.5

A8=(.5)(12.25)=6.125

AT=17.5

“Notación Sumatoria.”

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye la suma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usado los puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.

Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera,

*GRAFICA

*EJEMPLO:

“Sumas de Riemann.”

El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemann por la izquierda, suma de Riemann de punto medio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se puede definir como una función valorada real f: X  Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que p < x1< x2< x3< x4< … < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann será:

Para calcular la suma de Riemann por la izquierda, hacemos el valor de la función casi igual al valor del punto final izquierdo. Esto dará un rectángulo de base R y altura f(p + i * R). Repita este paso para todos los valores de i. La suma de todas las áreas del rectángulo resultante nos dará:

Del mismo modo, para el cálculo de la suma de Riemann por la derecha, hacemos que el valor de la función casi igual al valor del punto final derecho. Esto dará un rectángulo de base R y altura f (p + i * R). Repita este paso para todos los valores de i, excepto el primero.La suma de todas las áreas del rectángulo resultante nos dará:

Finalmente para el cálculo de la suma de Riemann del punto medio, calcule el valor aproximado de f en el centro de cada intervalo para obtener la suma de Riemann como:

*GRAFICA

*Ejemplo:

Encuentre el área bajo el área de f(x)=x+2 en el interválo de [0,4]

“Definición de Integral Definida.”

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. Una integral definida se representa más comúnmente como:

*GRAFICA

*EJEMPLO

“Teorema de Existencia.”

El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación diferencial dada.

Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer orden. También es esencial que la ecuación satisfaga las cláusulas iniciales establecidas con ella.

Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del plano x-y,

Sea un punto (x0, y0) en esta área limitada entonces >0 es real y existe una función en la que tenemos x0 - < x < x0 + para la cual tenemos una solución del valor inicial de la expresión.

*GRAFICA

*EJEMPLO

“Propiedades de la integral definida.”

Estas propiedades se derivan de la definición básica misma de las integrales definidas a través de largos procedimientos con el fin de hacer más fácil la solución de problemas.

Algunas de las propiedades básicas de las integrales definidas se discuten a continuación.

1.- La integración de una función para un solo punto, esto es, que tanto el límite superior como el límite inferior son el número mismo, producirá cero como resultado.

2.- La integración de una función para algunos límites es el inverso de la integración de la misma función cuando los límites de integración son intercambiados.

3.- La integración de una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de esa constante con la diferencia de los límites de integración.

4.- La integración de la multiplicación de una función con una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de la constante con la integración de la función para los límites de integración.

5.- La integración de una función para algunos límites de integración se puede desglosar como la suma de la integración de la misma función donde el límite superior de la integración de la expresión anterior y el límite inferior de la integración de la expresión siguiente es el mismo, el cual es un valor intermedio de los límites de integración.

6.- La integración de la suma de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la suma de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

7.- La integración de la diferencia de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la diferencia de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

8.- Si

...