Medición aproximada de figuras amorfas

Calculo integral  
Tercera unidad III
Maestra: Amalia Aguirre
Alumno: Ricardo Antonio Benavides Gómez  

3.1 Medición aproximada de figuras amorfas.

Empiece por intentar resolver el problema del área: hallar el área de la región S que está debajo de la curva y f (x), desde a hasta b. Esto significa que S está limitada por la gráfica de una función continua f [donde f(x) 0], las rectas verticales x  a y x b, y el eje x. [pic 6][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Al intentar resolver el problema del área, debe preguntarse: ¿cuál es el significado de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para un rectángulo, se define como el producto del largo y el ancho. El área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura. El área de un polígono se encuentra al dividirlo en triángulos (figura 2) y sumar las áreas de esos triángulos. Sin embargo, no es fácil hallar el área de una región con lados curvos. Todos tiene una idea intuitiva de lo que es el área de una región. Pero parte del problema del área es hacer que esta idea sea precisa dando una definición exacta de área. Recuerde que al definir una tangente, primero se obtuvo una aproximación de la pendiente de la recta tangente por las pendientes de rectas secantes y, a continuación tomó el límite de estas aproximaciones. Siga una idea similar para las áreas. En primer lugar obtenga una aproximación de la región S por medio de rectángulos y después tome el límite de las áreas de estos rectángulos, como el incremento del número de rectángulos En el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento.

Ejemplo.

Use rectángulos para estimar el área debajo de la parábola , desde 0 hasta 1.[pic 7]

[pic 8]

Solución.  

En primer lugar, el área de S debe encontrarse en alguna parte entre 0 y 1, porque S está contenida en un cuadrado cuya longitud del lado es 1 pero, en verdad, puede lograr algo mejor que eso. Suponga que divide S en cuatro franjas, al trazar las rectas verticales  .[pic 9][pic 10]

[pic 11]

Puede obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la propia franja. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función  en los puntos extremos de la derecha de los subintervalos .[pic 12][pic 13]

Cada rectángulo tiene un ancho de  y las alturas son  y . Si denota con la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtiene [pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Se ve que el área A de S es menor que R4, de modo que

[pic 18]

En lugar de usar los rectángulos de la figura (b), es posible optar por los más pequeños de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierda de los subintervalos. La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es

[pic 19]

El área de S es mayor que  , de modo que se tiene estimaciones superior e inferior para A:[pic 20]

[pic 21]

3.2 Notación sumatoria.

Nuestro enfoque para determinar el área de una región curva, R, implicará los siguientes pasos:

1. Aproximar la región R por medio de n rectángulos, en donde los n rectángulos tomados juntos contengan a R y produzcan un polígono circunscrito, o bien, que estén contenidos en R y produzcan un polígono inscrito.
2. Determinar el área de cada rectángulo.
3. Sumar las áreas de los n rectángulos.
4. Tomar el límite cuando
[pic 22]

Si el límite de las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos es el mismo, a este límite le llamamos área de la región R. El paso 3 incluye la suma de las áreas de los rectángulos, por lo que necesitamos tener una notación para sumas, así como algunas de sus propiedades. Por ejemplo, considere las sumas siguientes:

[pic 23]

y

[pic 24]

Para indicar estas sumas de una manera compacta, las escribimos como

[pic 25]

respectivamente. Aquí ∑ (sigma mayúscula griega), que corresponde a la ∑ en español, significa que estamos sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i recorre todos los enteros positivos, lo cual comienza con el entero que aparece debajo de ∑ y finaliza con el entero arriba de∑. Así,

[pic 26][pic 27]

[pic 28]

Si todas las  en  tienen el mismo valor, digamos , entonces [pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Como resultado,

[pic 33]

En particular,

[pic 34]

Ejemplo 1.

Suponga que  Calcule [pic 35][pic 36]

Solución.

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39][pic 40]

Ejemplo 2.

Encuentre la fórmula para  [pic 41]

Solución.

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

 3.3 Sumas de Riemann.

Considere una función f definida en un intervalo cerrado [a, b]. Puede haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, no necesita ser continua.

Suponga una partición P del intervalo [a, b] en n subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) por medio de los puntos y sea  En cada subintervalo  selecciónese un punto ; le llamamos punto muestra para el i-ésimo subintervalo.[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

A la suma

[pic 50]

Le llamamos una suma de Riemann para  correspondiente a la partición P. [pic 51]

[pic 52]

Ejemplo 1.

Evalúe la suma de Riemann para , en el intervalo [-1,2]; utilice la partición de puntos igualmente espaciados -1 < -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 y tome como punto maestral al punto medio del i-ésimo subintervalo.  [pic 53]

Solución.

Observe la grafica

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57][pic 58]

Ejemplo 2. 

Evalúe la suma de Riemann  para  en el intervalo [0,5]; utilice la partición  con puntos de la partición 0< 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5 y los correspondientes puntos muestra [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

Solución.

[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

3.4 Definición de integral definida.

Si  es una función continua definida para , divida el intervalo [a,b] en  subintervalos de igual ancho Haga que  sean los puntos extremos de estos subintervalos y elija  como los puntos muestras en estos subintervalos, de modo que  se encuentre en el i-ésimo subintervalo . Entonces la integral definida de , desde  hasta , es [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

[pic 79]

Siempre que exista el límite, si existe, es integrable en [a, b].[pic 80]

El significado exacto del límite que define las integrales es como sigue:

Para cualquier número  existe un entero N  tal que [pic 81]

[pic 82]

 Para cualquier entero  y para cualquier selección de  en [pic 83][pic 84][pic 85]

3.5 Teorema de Existencia.

Si  es continua en [a, b], o si f tiene únicamente un número finito de saltos discontinuos, entonces  es integrable en [a, b]; es decir, la integral definida
 existe.[pic 86][pic 87][pic 88]

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