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TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA

La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares.

Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:

LA COLA Y LA INSTALACIÓN DEL SERVICIO.

Los clientes y la instalación del servicio pueden ser: Personas, Automóviles, Máquinas que requieren reparación,  Documentos, etc.

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NOTACIÓN DE LAS LÍNEAS DE ESPERA

Muchos modelos hacen la suposición de que todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos. Por convención, estos se etiquetan como  sigue:

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La distribución de los tiempos puede ser: M (exponencial, Poisson), D (determinístico), Ek (Erlang) y G (cualquier otra distribución).

TERMINOLOGÍA:

• Estado del sistema: número de clientes en el sistema.

• Longitud de la cola: número de clientes que esperan servicio.

• N(t): número de clientes en el sistema de colas de tiempo t, donde (t>=0)

• Pn(t): probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo 0.

• s: numero de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.

• λn: tasa media de llegadas (numero esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. Cuando λn es constante para toda n, está constante se denota por  λ.

• 1/λ: Tiempo entre llegadas esperado. Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes / hora. Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos.

• μn: tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. Cuando μn (por servidor ocupado) es constante para toda n≥1se denota por μ.

• 1/μ : Tiempo de servicio esperado. Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/μ = 1/25 = 0.04 horas o 2.4 minutos.

• ρ= λ/(sμ): factor de utilización para la instalación se servicio, es decir la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados).

LA SIGUIENTE NOTACIÓN SUPONE LA CONDICIÓN DE ESTADO ESTABLE:

•  Pn: Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema.

•  L: Número esperado de clientes en el sistema.

• Lq: Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).

•  W: Tiempo de espera esperado en el sistema para cada cliente.

•  Wq: Tiempo de espera esperado en la cola para cada cliente

L, Lq, W y Wq se le conoce a menudo como medidas de desempeño del sistema de colas.

Relaciones entre L, Lq, W y Wq.

Si suponemos que λn, es un promedio [pic 9] , entonces:

• L=[pic 10]W (formula Little).
• Lq= [pic 11]Wq        

• W = Wq + 1/μ

L, Lq, W y Wq  se determinan analíticamente.

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (REPASAR)

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