Problemas de congruencia.
Enviado por gerardoreyesb • 20 de Agosto de 2016 • Tareas • 457 Palabras (2 Páginas) • 143 Visitas
Congruencias (Problemas)
1. Demuestre que si (n, 7) = 1 entonces 7 | (n12 – 1).
2. Determine para que enteros positivos n, 2n –1 es divisible por 7.
3. Pruebe que 2n + 1 nunca es divisible por 7.
4. Demuestre que si 7 no es un divisor de n, entonces n6 [pic 1]1996 (mod 7).
5. Demuestre que para todo entero no negativo n, 17 es un divisor de 34n+2 + 26n+3.
6. (Olimpiada Nacional) Demuestre que para todo entero no negativo n, se cumple que: (n3-n) (58n+4 + 34n+2) es múltiplo de 3804.
7. Encuentre un número que al dividirse por 10 deja residuo 9, al dividirse por 9 deja residuo 8 y así sucesivamente hasta que al dividirse por dos deje residuo 1.
8. (Olimpiada Internacional) Encontrar el número natural N más pequeño que cumple las siguientes condiciones:
- En la representación decimal, termina en 6.
- Si el 6 es trasladado al principio del número, el resultado es 4N.
9. (Olimpiada Nacional) Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre número de días soleados y número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla:
Región | Soleados o lluviosos | Inclasificables |
A | 336 | 29 |
B | 321 | 44 |
C | 335 | 30 |
D | 343 | 22 |
E | 329 | 36 |
F | 330 | 35 |
La persona encargada de la encuesta no es imparcial y tiene esos datos más detallados. Se da cuenta de que, prescindiendo de una de las regiones, la observación da un número de días lluviosos que es la tercera parte del de días soleados. Razonar cuál es la región de la que prescindirá.
10. Demuestre que si a es primo con 240 entonces 240 es un divisor de a4 - 1.
11. (Concurso Estatal) Sean x, y, z números enteros tales que x3 +y3 - z3 es múltiplo de 7. Demuestre que uno de ellos es múltiplo de 7.
12. (Concurso Nacional) Pruebe que nn-1 -1 es divisible por (n-1)2 para todo entero n > 1.
13. Justifique, utilizando congruencias, el procedimiento descrito a continuación para adivinar un número:
Diga a alguien que seleccione un número entero menor que 1000, que lo divida entre 7, 11 y 13 y proporcione los tres residuos de la división. Usted podrá entonces decirle que número seleccionó originalmente. Esto se hace multiplicando los tres residuos respectivamente por los "números mágicos" 715, 364 y 924, sumando los productos resultantes y restando de la suma el mayor múltiplo de 1001 que deje una diferencia positiva. Esta diferencia es el número seleccionado.
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