Procesos estocásticos y análisis de decisión

Sebastián López Bolívar

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Procesos estocásticos y análisis de decisión

 Ejercicio 1: Inventarios de corazones

El Hospital Universitario San Vicente de Paul tiene un centro especializado en cardiología, en donde se realizan trasplantes de corazón y lo contrata a usted como consultor del problema de inventario de corazones. Los corazones se mantienen congelados y pueden durar tanto tiempo como se requiera; sin embargo no hay capacidad para almacenar sino un solo corazón, por lo que su política de pedidos consiste en ordenar un corazón al principio del día si el día anterior terminó sin corazones y no ordenar si terminó con un corazón ya que no habría donde almacenarlo. El centro trabaja de 6:00 A. M. a 6:00 P. M. pero si se pide un corazón al inicio del día (pedido normal) su entrega demora seis horas (lo entregarían a las 12 M.). La demanda de corazones durante la mañana (de 6:00 A. M. a 12 M.) es siempre de cero o uno así: Probabilidad P(D=0 durante la mañana)=0.8 y la demanda de corazones en la tarde puede ser cero, uno o dos corazones así: Probabilidad P(D=0 durante la tarde)=0.7 y P(D=1 durante la tarde)=0.2. Los corazones pedidos al inicio del día cuestan un millón de pesos, pero cuando se presenta la necesidad de un corazón durante la mañana o la tarde y no lo hay se debe hacer un pedido urgente de un corazón a un costo de tres millones de pesos.

1.  ¿Es 𝑋𝑛 un proceso de Markov? Explique

Si es una cadena de markov ya que los corazones que se pidan dependen únicamente de los corazones que se tengan en el presente, es decir si es 0 se pide, de lo contrario no se piden corazones.

1.  Halle la matriz de transición de 1 pasos del punto anterior.

Tenemos las siguientes probabilidades:

Probabilidades  AM:

P(D=0) = 0.8

P(D=1) = 0.2

Probabilidades  PM:

P(D=0) = 0.7

P(D=1) = 0.2

P(D=2) = 0.1

Con el fin de organizar el proceso de todo un día en una sola matriz, sumaremos las probabilidades de todo un día am con pm, es decir la probabilidad de pedir 0 corazones en la mañana será la probabilidad de pedir 0 corazones en la mañana + la probabilidad de pedir 0 corazones en la tarde, además se dividirá entre dos cada una de estas probabilidades con el fin de que la suma de las filas sea igual a 1 y así mantener la proporción.

Quedando las probabilidades de la siguiente manera:

P(D=0) = (P(D=0)am + P(D=0)pm)/2

P(D=0) =  = 0.7[pic 1]

P(D=1) = (P(D=1)am + P(D=1)pm)/2

P(D=1) =  = 0.2[pic 2]

P(D=2) = (P(D=2)am + P(D=2)pm) = 0.1

Las probabilidades de transición quedarían de la siguiente forma:

Poo = P(D=1) + P(D=2) = 0.2 + 0.1 = 0.3

Po1 = P(D=0)  = 0.7

P1o = P(D=1) + P(D=2) = 0.2 + 0.1 = 0.3

P11 = P(D=0)  = 0.7

La matriz de transición quedaría entonces:

1. Discuta (no es necesario calcular): ¿Cuál es la proporción de días en el largo plazo en que hay que hacer pedidos normales? .

Para realizar pedidos normales, todos los días debemos terminar con 0 corazones, las probabilidades serian:

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