Proceso estocástico

Proceso estocástico

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El índice de la bolsa es un ejemplo de proceso estocástico de tipo no estacionario (por eso no se puede predecir).

En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico.

Índice

1 Ejemplos

2 Definición matemática

2.1 Casos especiales

3 Referencias

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:

Señales de telecomunicación

Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.)

Señales sísmicas

El número de manchas solares año tras año

El índice de la bolsa segundo a segundo

La evolución de la población de un municipio año tras año

El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla

El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.

Los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.

Definición matemática

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.

Como un conjunto de variables aleatorias X_t\, indexadas por un índice t\,, dado que t \in T\,, con T\subseteq\mathbb{R}\,.

T\, puede ser continuo si es un intervalo (el número de sus valores es ilimitado) o discreto si es numerable (solamente puede asumir determinados valores). Las variables aleatorias X_t\, toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico. Sea (\Omega , \mathcal B , P ) un espacio probabilístico. En una muestra aleatoria de tamaño n se observa un suceso compuesto E formado por sucesos elementales \omega:

E = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\} \sub \Omega\,, de manera que E \isin B\,.

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole B. A cada suceso \omega le corresponde un valor de una variable aleatoria V, de manera que V es función de \omega:

V = V(\omega); \qquad \omega\in\Omega,\, -\infty < V < \infty

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en (A, \mathcal A) de un elemento X = (\Omega,\mathcal B,(X_t)_{t\ge 0},P), donde para todo t\in \mathbb{R}, X_t\, es una variable aleatoria del valor en (A,\mathcal A).

Si se observa el suceso \omega en un momento t de tiempo:

V = V(\omega, t), \qquad \omega\in\Omega, t\in T, -\infty < V < \infty.

V define así un proceso estocástico.1

Si ({\mathcal B}_t)_t\, es una filtración,2 se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en (A,\mathcal A), de un elemento X=(\omega,\mathcal B,\mathcal{B}_t,(X_t)_t,P), donde X_t\,

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