Procesos Estocasticos

FUNDAMENTOS DE PROCESOS ESTOCASTICOS.

1.- FUNDAMENTOS.

Un proceso estocástico sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico. Los fundamentos de los procesos estocásticos se usan para resolver problemas matemáticos, estadísticos y de probabilidad. Dentro de estos fundamentos, se encuentran los experimentos aleatorios, espacios muéstrales, probabilidad, distribución de probabilidad, esperanza matemática, otros; todos estos fundamentos tienen relación; ya que nos permite conocer por medio de fórmulas y procedimientos el cálculo de sucesos.

2.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS.

Un experimento aleatorio es aquel que puede presentar resultados diferentes bajo el mismo aparente conjunto de condiciones iniciales por lo que no se puede predecir o reproducir el resultado preciso de cada experiencia particular.

Un ejemplo clásico sería el lanzamiento de un dado para registrar resultados.

Este tipo de experimento excede al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores involucrados nos hace predecir su resultado. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que, en el vacío, se arroja un móvil y los restantes datos en juego, puede calcularse el tiempo que tardará en llegar al suelo. A diferencia del fenómeno determinista, pese a conocerse el procedimiento a seguir y hasta el conjunto de posibles salidas, no se puede saber cuál será el resultado final antes de realizar el experimento: no es predictible.

PROPIEDADES

Un experimento se denomina aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

• Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorio numerable; y si no se pueden contar, se le llama experimento aleatorio no numerable.

• Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio muestral, constituido por diferentes sucesos) o por lo menos nombrar al último resultado se le llama experimento aleatorio finito; y si no se puede nombrar al último resultado, se le llama experimento aleatorio infinito.

• Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo.

• A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba (ver Evento estadístico).

CONTROVERSIA

Existe cierta controversia sobre si los fenómenos aleatorios existen realmente o simplemente surgen del desconocimiento de los factores que desencadenan el mismo o de las leyes físicas que lo rigen. Por ejemplo, si en el lanzamiento de un dado conociéramos exactamente la fuerza, altura al suelo y ángulo del lanzamiento, las dimensiones exactas del dado y las propiedades del suelo, se podría mediante complejos cálculos conocer el resultado final. Es por esto que algunas veces se define un fenómeno aleatorio como aquel en el que pequeños cambios en sus factores producen grandes diferencias en su resultado.

Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:

1.- Al extraer una carta de una baraja es imposible predecir cuál de ellas saldrá.

2.- Al lanzar un dado varias veces es imposible predecir el numero obtenido.

3.- Al lanzar una moneda sobre la mesa o al aire no se puede decir si saldrá cara o sello.

3.- ESPACIO MUESTRAL.

Es el conjunto constituido por todos los resultados que se pueden obtener al realizar unos experimentos aleatorios.

Ejemplo:

• Al lanzar un dado E:{1,2,3,4,5,6}

• Al realizar el experimento de lanzar una moneda E={C,S}

• Al realizar el experimento de lanzar dos monedas E= {CC, SS, CS, SC}

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P.

4.- PROBABILIDAD.

La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

REGLA DE LA ADICIÓN

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.

2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.

3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

5.- DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Variables aleatorias: es la descripción numérica del resultado de un experimento. Puede ser:

Variable aleatoria discreta: puede tomar una secuencia de valores finita o infinita.

Variable aleatoria continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo o en una colección de intervalos. Ejemplo, peso, tiempo, temperatura.

6.- FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD.

La función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región. La función de densidad de probabilidad es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

• Si X es discreta su función de densidad se define por:

• En el caso de que X sea continua su función de densidad debe permitir expresar F, la función de distribución de probabilidad de X , en forma integral:

Se dice que una variable aleatoria X es continua si existe una función f(x) llamada función de densidad de probabilidad de X, que satisfaga las siguientes condiciones:

a) f(x)  0 para toda x.

b) Para cualquier par de números reales a y b.

7.- ESPERANZA MATEMATICA.

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria

...