Teorema de la probabilidad total

Teorema de la probabilidad total

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea S1 ,S2,…,Sn sucesos de P(E), tales S1 ∪ S2 ∪…∪ Sn = E, por lo que se dice que forman un sistema exhaustivo, y Si ∩ Sj = ∅, ∀i ≠ j por lo que se dice que forman un sistema mutuamente excluyente. Diremos que forman un sistema completo de suceso de P(E).

Sea S otro suceso de P(E), distinto de los anteriores, tal que P(S) ≠ 0, que puede realizarse o no, después de que se haya realizado, uno de los sucesos S1 ,S2,…,Sn que forman el sistema.

Supongamos que conocemos las probabilidades P(S1), P(S2),…,P(Sn) a las que llamamos probabilidades a priori, y las probabilidades P(S/ S1), P(S/S2),…,P(S/ Sn), a las que llamamos verosimilitudes del suceso S. En estas condiciones se verifica que:

Demostración:

Estaríamos en la situación descrita esquemáticamente en la figura. Observamos que:

Aplicando el Axioma 2:

Aplicando el teorema del producto:

Ejemplo:

Una empresa que se dedica a fabricar un único tipo de piezas, dispone para su producción de tres máquinas A, B Y C, de tal forma que A realiza el 50% de la producción, B el 30% y C el resto. Se sabe que A produce el 5% de piezas defectuosas, B el 6% y C el 15%. Hallar la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar entre las producidas en dicha fabrica sea defectuosa.

Sea A el suceso consistente en que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina A´´, B que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina B´´ y C que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina C´´. Los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, ya que cualquier pieza producida en la fábrica, lo ha sido por una de las tres máquinas y solo por una de ellas.

Por el enunciado sabemos que p(A)= 0,5 p(B)= 0,3 p(C)= 0,2 que son probabilidades a priori.

También sabemos que P(D/A)= 0,05 P(D/B)=0,06 y P(D/C)= 0,15 que son las verosimilitudes del suceso D consistente en que la pieza seleccionada al azar sea defectuosa.

Aplicado el teorema de la probabilidad total:

Teorema de Bayes

Estamos en el mismo ambiente descrito en el teorema anterior, y tras realizarse el suceso S podemos plantearnos la siguiente pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que previamente a la realización de S se haya realizado el suceso S, de los que forman el sistema completo? Notaremos esta probabilidad por P(S/S) y diremos que es una probabilidad a posteriori, puesto que nos planteamos su cálculo con posterioridad a la realización del suceso S. La obtenemos de la siguiente forma:

Aplicamos el teorema del producto y el teorema de la probabilidad total.

Este resultado es la expresión matemática del teorema de Bayes y nos referimos a el como fórmula de Bayes.

Ejemplo:

En el ejemplo del apartado anterior, nos plantemos la siguiente pregunta:  

Si en un control de calidad encontramos una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la maquina A? Nos piden la probabilidad a posteriori p(A/D). La obtenemos aplicando la fórmula de Bayes:

Ejemplo:

Un médico por la sintomatología inicial que presenta un enfermo, determina que posee la enfermedad M con probabilidad 0,7 o bienes la enfermedad N, con síntomas muy parecidos con probabilidad contraria, es decir con probabilidad 0,3. Para estar más seguro ordena un análisis de sangre. Se sabe que, si el paciente padece M, el análisis da positivo en el 90% de los casos, mientras que, si padece N, solo da positivo en el 30% de los casos. Si el análisis ha resultado positivo, ¿cuál es la nueva probabilidad de que el enfermo padezca realmente la enfermedad M?

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