Teorema de la probabilidad total

Teorema de la probabilidad total

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea S1 ,S2,…,Sn sucesos de P(E), tales S1 ∪ S2 ∪…∪ Sn = E, por lo que se dice que forman un sistema exhaustivo, y Si ∩ Sj = ∅, ∀i ≠ j por lo que se dice que forman un sistema mutuamente excluyente. Diremos que forman un sistema completo de suceso de P(E).

Sea S otro suceso de P(E), distinto de los anteriores, tal que P(S) ≠ 0, que puede realizarse o no, después de que se haya realizado, uno de los sucesos S1 ,S2,…,Sn que forman el sistema.

Supongamos que conocemos las probabilidades P(S1), P(S2),…,P(Sn) a las que llamamos probabilidades a priori, y las probabilidades P(S/ S1), P(S/S2),…,P(S/ Sn), a las que llamamos verosimilitudes del suceso S. En estas condiciones se verifica que:

Demostración:

Estaríamos en la situación descrita esquemáticamente en la figura. Observamos que:

Aplicando el Axioma 2:

Aplicando el teorema del producto:

Ejemplo:

Una empresa que se dedica a fabricar un único tipo de piezas, dispone para su producción de tres máquinas A, B Y C, de tal forma que A realiza el 50% de la producción, B el 30% y C el resto. Se sabe que A produce el 5% de piezas defectuosas, B el 6% y C el 15%. Hallar la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar entre las producidas en dicha fabrica sea defectuosa.

Sea A el suceso consistente en que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina A´´, B que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina B´´ y C que ``la pieza seleccionada haya sido producida por la maquina C´´. Los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, ya que cualquier pieza producida en la fábrica, lo ha sido por una de las tres máquinas y solo por una de ellas.

Por el enunciado sabemos que p(A)= 0,5 p(B)= 0,3 p(C)= 0,2 que son probabilidades a priori.

También sabemos que P(D/A)= 0,05 P(D/B)=0,06 y P(D/C)= 0,15 que son las verosimilitudes del suceso D consistente en que la pieza seleccionada al azar sea defectuosa.

Aplicado el teorema de la probabilidad total:

Teorema de Bayes

Estamos en el mismo ambiente descrito en el teorema anterior, y tras realizarse el suceso S podemos plantearnos la siguiente pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que previamente a la realización de S se haya realizado el suceso S, de los que forman el sistema completo? Notaremos esta probabilidad por P(S/S) y diremos que es una probabilidad a posteriori, puesto que nos planteamos su cálculo con posterioridad a la realización del suceso S. La obtenemos de la siguiente forma:

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