Teorema Chebyshev. Probabilidad y estadística

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Teorema Chebyshev

Probabilidad y estadistica

Aaron Zamudio | Ivan Cañez | 3/30/24

Introducción

La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en estadística. Se caracteriza por tener una forma de campana simétrica alrededor de su media, lo que la hace útil para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales y sociales. En esta investigación, exploraremos tres conceptos clave relacionados con la distribución normal: la distribución normal estándar, el valor z y ejemplos de su aplicación en diversos campos, incluyendo la administración.

La distribución normal estándar es una versión específica de la distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Esta distribución es fundamental en estadística, ya que permite estandarizar cualquier variable normal para poder compararla con otras variables normalmente distribuidas.

El valor z, también conocido como puntaje z o puntuación estándar, representa la distancia de un valor con respecto a la media de una distribución normal en términos de desviaciones estándar. Se calcula restando la media y dividiendo por la desviación estándar. El valor z es útil para determinar la probabilidad de que ocurra un evento en una distribución normal.

A lo largo de esta investigación, presentaremos ejemplos de la distribución normal en diversos contextos. Estos ejemplos ilustrarán cómo la distribución normal se utiliza para modelar y analizar fenómenos del mundo real.

Distribución Normal

La distribución normal es un modelo estadístico que se observa cuando un conjunto de datos se distribuye de manera uniforme alrededor de un valor central. En este patrón, la mayoría de las observaciones se concentran alrededor de la media, y los valores menos comunes se encuentran en los extremos, alejándose gradualmente de este punto central.

Puntos clave:

La distribución normal es un modelo teórico que describe el comportamiento de una variable aleatoria de manera ideal, utilizando la media y la desviación estándar como parámetros clave.

Para representarla, se requiere una variable aleatoria, calcular su media y desviación estándar, y elegir entre la función de densidad de probabilidad o la función de distribución acumulada. Es ampliamente utilizada en diversos campos y sirve como base para otras distribuciones estadísticas, como la distribución t de Student, la distribución chi-cuadrado y la distribución F de Fisher.

En términos simples, la distribución normal describe cómo se distribuyen ciertos datos. Por ejemplo, los resultados de un examen o los rendimientos de acciones en el mercado. Utiliza dos valores importantes, la media y la desviación estándar, para entender mejor estos datos.[pic 2]

La representación gráfica de una distribución normal se muestra en una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria que sigue este patrón.

Características:

• La distribución normal es simétrica, lo que significa que la media, la mediana y la moda son iguales: Media = Mediana = Moda.
• Es una distribución unimodal, lo que indica que los valores más comunes están cerca de la media. A medida que nos alejamos de la media, la probabilidad y la frecuencia de los valores disminuyen.

 
Pero, que necesitamos en realidad para representar una distribución normal?

• Una variable aleatoria. 
• Calcular la media. 
• Calcular la desviación típica. 
• Decidir la función que queremos representar: función de densidad de probabilidad o función de distribución. 
  
  
  
  
  
  
  
  

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Ahora, veamos un ejemplo teorico con cada paso aplicado en la administracion de examenes de alumnos, este trabajo es algo cotidiano para un profesor. (1/5)

Supongamos que deseamos determinar si los resultados de un examen siguen una distribución normal. En este examen participan 476 estudiantes, y los resultados van de 0 a 10. Para evaluar esto, calculamos la media y la desviación estándar a partir de las observaciones de los resultados del examen. Luego, definimos la variable aleatoria X como los resultados del examen, que dependen de cada resultado individual. Matemáticamente:

[pic 8]La variable aleatoria X representa la variable resultados del examen y puede aproximarse a una distribución normal de media 4,8 y desviación típica de 3,09.

El resultado de cada estudiante se anota en una tabla. De esta forma, obtendremos una visión global de los resultados y de su frecuencia.

Una vez hecha la tabla, representamos los resultados del examen y las frecuencias. Si el gráfico se parece a la imagen anterior y cumple con las propiedades, entonces, la variable resultados del examen puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal de media 4,86 y desviación típica de 2,56.

Despues, nos queda preguntarnos; ¿Los resultados del examen pueden aproximarse a una distribución normal? En la siguiente pagina les explicaremos por que pienso que si.
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Motivos para tomar en cuenta este caso incluyen:

• La distribución simétrica, lo que implica que hay igual cantidad de observaciones a la derecha y a la izquierda del valor central. Además, la media, la mediana y la moda son idénticas:
  
  Media = Mediana = Moda = 5.
• Las observaciones más frecuentes o probables se encuentran cerca del valor central. Por el contrario, las observaciones menos frecuentes o probables están más alejadas del valor central.

[pic 11]La variable resultados del examen sigue una distribución normal.

[pic 12]La variable resultados del examen sigue una distribución normal.

La distribución normal describe la variable aleatoria mediante una aproximación que produce errores estándar (las barras encima de cada columna). Estos errores son la diferencia entre las observaciones reales (resultados) y la función de densidad. 

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Distribucion Normal Estandar y el “Valor Z”

La Distribución Normal Estándar es una forma específica de la distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Se representa por la letra griega Φ (phi) y es fundamental en estadística debido a sus propiedades estándar.

La principal diferencia entre la distribución normal estándar y la distribución normal en general radica en sus parámetros. Mientras que la distribución normal puede tener cualquier media y desviación estándar, la distribución normal estándar siempre tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.

La distribución normal estándar es especialmente útil porque permite estandarizar cualquier variable normal para que se ajuste a esta distribución, lo que facilita la comparación y el cálculo de probabilidades.

El valor Z está directamente relacionado con la distribución normal estándar y se utiliza para estandarizar cualquier variable en una distribución normal para que se ajuste a la distribución normal estándar.

En una distribución normal estándar, la media es 0 y la desviación estándar es 1. Por lo tanto, si tenemos una variable X con una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, podemos estandarizarla para convertirla en una variable Z con una distribución normal estándar usando la fórmula:

z = x – μσ
Donde:

• z es el "valor-z" (Puntaje Estándar)
• x es el valor a estandarizar
• μ ('mu") es la media
• σ ("sigma") es la desviación estándar

El valor Z nos indica cuántas desviaciones estándar un valor dado de la variable original está por encima o por debajo de la media. Un valor Z positivo indica que el valor está por encima de la media, mientras que un valor Z negativo indica que está por debajo de la media.

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