Probabilidad Condicional. TEOREMA DE BAYES
Enviado por marvicc31 • 16 de Febrero de 2016 • Apuntes • 2.793 Palabras (12 Páginas) • 178 Visitas
Probabilidad Condicional
La probabilidad de que un evento [pic 1] ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento [pic 2] se llama probabilidad condicional y se denota por [pic 3] que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:
[pic 4] |
La probabilidad condicional es una función de probabilidad, [pic 5] definida como
[pic 6] | [pic 7] | [pic 8] | [pic 9] | [pic 10] |
[pic 11] | [pic 12] | [pic 13] |
¿ Es [pic 14] una función de probabilidad?
[pic 15] es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas
Axioma I
[pic 16] para todo evento [pic 17].
Como
[pic 18]
entonces dividiendo por [pic 19] se tiene los términos de la desigualdad se tiene
[pic 20]
Axioma II
[pic 21]
Como
[pic 22]
Axioma III
Si [pic 23] es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces
[pic 24]
Como
[pic 25]
como los eventos [pic 26]son mutuamente excluyentes, entonces los eventos [pic 27]son también mutuamente excluyentes y así
[pic 28]
Ejemplo
1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad [pic 29], una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad [pic 30] solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad [pic 31], cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad [pic 32]. Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.
Solución:
[pic 33]
Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta
I : el evento la señal es útil con interferencia pura
S: el evento que indica ocurre una señal
Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así:
[pic 34]
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
La fórmula del Teorema de Bayes es:
[pic 35]
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, hay que recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
EJEMPLO: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
[pic 36]
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
[pic 37]
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
[pic 38]
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
[pic 39]
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
VARIABLE ALEATORIA
Una función que asocia un número real, perfectamente definido, a cada punto muestral.
A veces las variables aleatorias (v.a.) están ya implícitas en los puntos muestrales.
Ejemplo 1: Experiencia consistente en medir la presión sistólica de 100 individuos. Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un número (presión sistólica). La v.a. está implícita.
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