VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

DISTRIBUCIÓN BINOMINAL

La fórmula general para cada término es:

n= Número de ensayos

x= Número de éxitos

p= probabilidad de éxito en cada ensayo

q= probabilidad de fracaso en cada ensayo

Los criterios que debe satisfacer una experiencia binomial son:

a) Debe existir un número fijo de pruebas repetidas (n)

b) Cada una de las n pruebas debe tener dos resultados, favorable o desfavorable. Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, será cara o sello, por lo tanto son mutuamente excluyentes.

c) La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fijo, algo similar sucede con la probabilidad de fracaso.

d) Las pruebas son independientes, ya que el resultado de un ensayo, no afecta el resultado del otro.

e) Nos interesa el número de éxitos en n pruebas.

ESPACIO MUESTRAL

Consiste en determinar todas las posibilidades de un determinado suceso en forma ordenada.

Ejemplo de espacio muestral para el lanzamiento de cuatro monedas en forma simultánea (n = 4) o el lanzamiento de una moneda cuatro veces

Espacio muestral con asignación de probabilidades para cada sucesos

0 Caras 1 Cara s 2Caras 3Caras 4Caras

sssscsssccsscccscccc

scsscscsccsc

sscssccscscc

ssscscscsccc

sscc

cssc

P(sss) = qqqq = q4 = q4

P(sssc) = qqqp = q3p

P(sscs) = qqpq = q3p =4 q3p

P(scss) = qpqq = q3p

P(csss) = pqqq = q3p

P(sscc) = qqpp = q2p2

P(scsc) = qpqp = q2p2

P(sccs) = qppq = q2p2

P(cscs) = pqpq = q2p2 =6 q2p2

P(cssc) = pqqp = q2p2

P(ccss) = ppqq = q2p2

P(sccc) = qppp = qp3

P(cscc) = pqpp = qp3 =4 qp3

P(ccsc) = ppqp = qp3

P(cccs) = pppq = qp3

P(cccc) = pppp = p4 = p4

Si X representa al número de éxitos (caras) que se desea ocurran, se podrá elaborar la siguiente tabla de probabilidades. Siendo p =

X 0 1 2 3 4 Nº de caras

P(x)

P(x)

P(x)

q4

(1/2)4

p4

(1/2)4

Distribución de probabilidad binomial y su representación gráfica

Elaboremos la distribución de probabilidad, con el experimento que consiste en el lanzamiento de cuatro (4) monedas, para la cual la variable aleatoria discreta esté dada por la obtención de exactitud: cero, uno, dos, tres y cuatro caras (X = 0, 1, 2, 3 y 4)

X Probabilidades

Fracción Decimal %

0

1

2

3

4 1/16

4/16

6/16

4/16

1/16 0,0625

0,2500

0,3750

0,2500

0,0625 6,25

25,00

37,50

25,00

6,25

16/16 1,0000 100,00

Ejemplo 1.

Supongamos el lanzamiento de 12monedas o una moneda lanzada 12 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener:

(a) exactamente 4 caras?;

(b) exactamente 10 caras?;

(c) por lo menos dos caras

(d) como máximo 9 caras?;

(e) más de 10 caras y menos de 3 caras?

Solución:

a) Exactamente 4 caras

n=12

x= 4 éxitos

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