Definición de variable aleatoria discreta

3.1 Definición de variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando su campo de variación (dominio de definición) está constituido por un conjunto finito o infinito numerable de valores posibles. Cada suceso de W se corresponde con un valor, conjunto que denotaremos de la forma {x1, x2,..., xk,...}.

Ej. 1 : ante el experimento : lanzar un dado diez veces de forma que la variable aleatoria X = nº de ases que se obtengan: X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (v.a. discreta de orden finito)

Ej. 2: ante el experimento: contemplar los coches que pasen por un tramo de carretera de forma que la variable aleatoria X = nº de coches que pasen: X= {0, 1, 2,3,...} (X= N) (v. a. discreta de orden infinito)

Una variable aleatoria discreta es el modelo teórico de una variable estadística discreta (con valores sin agrupar).

Una variable aleatoria discreta es aquella cuya función de distribución es escalonada.

3.2 Función de probabilidad y de distribución, valor esperado, varianza y desviación estándar.

Función de probabilidad y de distribución (discreta)

Cuando hablamos de la función de probabilidad, estamos evaluando la posibilidad de que una variable aleatoria tome un valor específico o bien al hablar de una función de distribución nos referimos al hecho de que una variablealeatoria tomé algún valor dentro de un intervalo (donde una variable aleatoria esuna variable continua) pero estos conceptos no contemplan el hecho de que serequiera conocer la información de un valor esperado, valor medio o esperanzamatemática de una variable aleatoria.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Características:

1.Es generada por una variable discreta (x).

x→Variable que solo toma valores enteros

x→0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.

2. p(xi)≥0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.

3. Σp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de losvalores que toma x debe ser igual a 1.

Valor esperado y momentos

CALCULO DE MEDIA (valor esperado) Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA

1. Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribucióndiscreta se utiliza la siguiente fórmula:

µ = E(x)= ∑ xi*p(xi)

Donde:

µ= media de la distribución

E(x) = valor esperado de x

xi= valores que toma la variable

p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x

Varianza

Se utiliza para desribir el grado de dispersion o variacion en una distribucion de probabilidades.

Formula:

Pasos:

1. Restar la media (u) a cada valor (x) y elevar la diferencia al cuadrado.

2. Multiplicar el cuadrado de cada diferencia , por su probabilidad (p(x)).

3. Sumar los productos resultantes para obtener finalmente la varianza.

Desviacion estandar

A la raíz cuadrada positiva de la varianza, σ, se le llama desviación estándar de X.

Ejemplo. Una tienda de artículos electrónicos vende un modelo particular de computadora portátil. Hay sólo cuatro computadoras en el almacén, y la gerente se pregunta ¿cuál será la demanda el día de hoy para este modelo particular?. El departamento de mercadotecnia le informa que la distribución de probabilidad para x, la demanda diaria para la computadora portátil, es la que se proporciona en la tabla.

Determine la media, varianza y desviación estándar de x. ¿Es probable que cinco o más clientes quieran comprar una computadora portátil hoy?

x =0 1 2 3 4 5

p(x)= 0,10 0,40 0,20 0,15 0,10 0,05

Solución:

En la tabla se dan los valores de x y p(x), junto con los términos individuales

usados en las fórmulas para µ y σ2, la suma de los valores en la tercera columna es:

X p(x) xp(x) (x -µ)2

(x -µ)2p(x)

0 0.10 0.00 3.61 0.361

1 0.40 0.40 0.81 0.324

2 0.20 0.40 0.01 0.002

3 0.15 0.45 1.21 1.1815

4 0.10 0.40 4.41 0.441

5 0.05 0.25 9.61 0.4805

Totales: 1.00 u= 1.90 o2=1.79

y la suma de los valores en la quinta columna es :

σ2 = ∑(x -µ)2 p(x)= (0 -1,9)2(0,10) + (1 - 1,9)2(0,40) + ,.. + (5 - 1,9)2(0,05) =1,79 y σ = 2 σ = 79.1 = 1,34

Como la distribución se aproxima a una forma de campana, entonces alrededor de 95% de las mediciones deben quedar dentro de un intervalo de dos desviaciones estándar respecto de la media, es decir, µ ± 2σ = 1,90 ± 2(1,34) o, -0,78 a 4,58

A partir de este resultado, usted puede decir que es improbable que cinco o más clientes quieran comprar

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