Variable Aleatoria Discreta

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada , ó σ2 mediante la siguiente ecuación:

V(X) = E[(X-E(X))2] y su forma reducida es:

=

donde, =

Para el ejemplo dado, =

=

Entonces, =

a) V(k)=0

b) V(kX)=k2V(X)

c) V(XY)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientes

d) V(aX+bY)= a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)

donde Cov(XY) = E((X-X)(Y-Y)) = E(XY)-XY

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = .

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p P(0)=1-p=q

Además se cumple: E(X)= p V(X)=pq

Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

Dado que y , resulta que P(X = x) = determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

=

Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

= n.p

= n.p.q

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3 Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y el rechazo del lote se realizara si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

DISTRIBUCIÓN POISSON

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por se denomina distribución Poisson; donde  es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene = = .

Ejercicios de distribución binomial

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2

La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:

a) Ninguno sufra la enfermedad

b) Todos sufran la enfermedad

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

Ejemplo 3

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :

a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000

b) La varianza y la desviación típica.

Solución :

Problemas y ejercicios de la distribución binomial

1La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

2.¿Y cómo máximo 2?

2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

3Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

4Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

5La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

6En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

7La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

8En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.

9Un

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