La Vida Es

Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio

´Indice

1. Introduccion 3

2. Movimiento oscilatorio 3

2.1. Cinematica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Dinamica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Energ´ıa de un oscilador arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Ejemplos de movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1. P´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.2. P´endulo f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Movimiento armonico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Movimiento ondulatorio 14

3.1. Conceptos basicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Problemas 22

1. Introduccion

Los principales objetivos de los cap´ıtulos dedicados a la Mec´anica Cl´asica fueron c´omo predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posici´on) y las fuerzas que actu´an sobre ´el. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al

desplazamiento del cuerpo desde su posici´on de equilibrio. Si dicha fuerza siempre est

dirigida

hacia la posicion de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento periodico u oscilatorio. En F´ısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de ah´ı la importancia de su estudio:

los latidos del corazon

el movimiento del p´endulo de un reloj

la vibraci´on de las mol´eculas de un solido alrededor de sus posiciones de equilibrio

la corriente el´ectrica que circula por el filamento de una bombilla

las vibraciones de las cuerdas de un viol´ın.

El movimiento oscilatorio est

intr´ınsecamente relacionado con los fenomenos ondulatorios.

Cuando vibra la cuerda de un viol´ın se producen oscilaciones de las mol´eculas del aire que lo rodea y, por el contacto o interacci´on entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el espacio en forma de onda. El ejemplo mas sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento arm´onico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energ´ıa mec´anica. Ademas de ser el tipo de movi- miento oscilatorio mas f´acil de describir matematicamente, constituye una buena aproximacion a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.

2. Movimiento oscilatorio

2.1. Cinem´atica del movimiento armonico simple

Se dice que una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armonico simple cuando su desplazamiento respecto a su posicion de equilibrio var´ıa con el tiempo de

acuerdo con la relacion 1 :

x(t) = A cos(ωt + δ),

donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2 . La representaci´on gr´afica de x = x(t) tiene

esta forma:

x

ωt= π/2

A

ωt=2 π

ωt= π

t

ωt=3 π/2

T

Conceptos b´asicos en la descripcion de este tipo de movimiento son los siguientes:

A: Amplitud −→ maximo desplazamiento de la part´ıcula (negativo o positivo) respecto

de su posicion de equilibrio.

δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del

movimiento. Se determina, como veremos m´as adelante, a partir de la posicion y velocidad

iniciales.

ωt + δ: Fase.

T : Periodo. Es el tiempo que necesita la part´ıcula para realizar un ciclo completo de su

movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π.

2π ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π −→ ωT = 2π −→ ω = T

2π

o´ T = . ω

ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).

f = 1/T : Frecuencia −→ nu´mero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la

part´ıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o´ herzios (Hz).

1 Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son peri´odicas: sen(x + 2nπ) = sen x; cos(x + 2nπ) = cos x.

Por lo que, como veremos mas adelante est

funcion para x(t) representa un movimiento periodico en el tiempo.

2 Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente segu´n x(t) = A sen(ωt + δ +

π/2) ≡ A sen(ωt + δ0 ).

δ=0

x(t)

-A

v(t)

-ωA

a(t)

-ω2A

La velocidad y la aceleracion de una part´ıcula que realiza un MAS se obtienen sin mas que

derivar su posici´on en funci´on del tiempo:

v(t) =

a(t) =

dx

dt = −ωA sen(ωt + δ) (1)

dv

= ω2A cos(ωt + δ) = ω2x(t). (2)

dt

v(t) y a(t) son tambi´en funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente

amplitud y desfase:

Amplitudes :

x −→ xmax = A

v −→ vmax = ωA

a −→ amax = ω2A

Desfases :

(x − v −→ π/2

x − a −→ π

La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones iniciales del siguiente modo:

x(t) = A cos(ωt + δ) −→ x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ

v(t) = −Aω sen(ωt + δ) −→ v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.

Dividiendo ambas ecuaciones:

v0

x0

Por otra parte:

v0

= −ω tan δ −→ tan δ = − ωx

 x0

=⇒ δ = arctan

v0

− ωx0

. (3)

Elevando al cuadrado y sumando:

 = cos δ

v0

− Aω = sen δ

2 2

0

2 2 v2

2 1/2

2 0

A2 + A2ω2 = 1 −→ A

= x0 + ω2 =⇒ A =

x0 + ω2

. (4)

Para concluir este apartado resumiremos las propiedades mas importantes de la cinem´atica del

MAS:

1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y desfasadas entre s´ı.

2. La aceleracion es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.

3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.

2.2. Din´amica del movimiento armonico simple

Ahora que ya sabemos como describir el movimiento armonico simple, investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema f´ısico mas sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es

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