Circuitos y sistemas

CAPÍTULO 1

Linealidad en Circuitos

1.1. Concepto de Linealidad de una Red

El concepto de linealidad está íntimamente ligado a la definición de Red Lineal, la cual se puede definir como “Un conjunto de elementos interconectados cuya respuesta a una variable de entrada puede ser descrita por ecuaciones integro diferenciales de primer orden”. Estas ecuaciones tienen coeficientes constantes, ya que los elementos que componen la red son ideales.

Esos elementos circuitales son también entonces, elementos lineales, los cuales además son invariantes en el tiempo, por lo cual se puede hablar de Redes Lineales e Invariantes en el Tiempo (Redes LIT). Como elementos lineales, ellos establecen relaciones entre la corriente y el voltaje, o entre esas variables y sus derivadas conteniendo un coeficiente constante.

La figura 1.1 presenta un circuito, red o sistema eléctrico, como un bloque que contiene interiormente los elementos interconectados, donde x(t) y y(t) corresponden a:

x(t) ≡ Excitación o estímulo a la entrada

y(t) ≡ Respuesta de la red a la excitación x(t)

Figura 1.1. Red lineal e invariante en el tiempo.

La respuesta y(t) de una red lineal invariante en el tiempo se representa gráficamente a través de línea recta con pendiente constante en el tiempo, tal como muestra la figura 1.2 y está definida por los elementos que componen la red los cuales son elementos LIT que cumplen con una relación descriptiva de la forma:

Ec.1.1

Donde k es una constante, y x(t) y y(t) – entrada y salida respectivamente – pueden ser voltaje y corriente, o a la inversa, o una combinación de una y la otra.

Figura 1.2. Representación gráfica de la respuesta de una Red LIT.

1.2. Propiedades de una Red Lineal

Una red que contenga sólo elementos lineales invariantes en el tiempo, sin energía inicial y alimentada por fuentes o generadores independientes es un circuito LIT y por tanto tiene ciertas propiedades como son: aditividad, homogeneidad, diferenciabilidad, integrabilidad, causalidad e invariabilidad en el tiempo.

1.2.1. Aditividad

Si en una Red LIT se introducen dos entradas x(t) = x1(t) + x2(t), la red es aditiva si su salida es y(t) = y1(t) + y2(t), siendo y1(t) y y2(t) las respuestas individuales correspondientes a las excitaciones x1(t) y x2(t), respectivamente. Figura 1.3.

Figura 1.3. Aditividad en red LIT

1.2.2. Homogeneidad

Esta propiedad es también conocida como Proporcionalidad, y establece que si una entrada x(t) es multiplicada por una constante C, es decir, una entrada Cx(t), la salida también quedará multiplicada por la misma constante, Cy(t). Ver Figura 1.4.

Figura 1.4. Homogeneidad en red LIT

1.2.3. Diferenciabilidad

Si la entrada x(t) a una red LIT es sustituida por su derivada dx(t)/dt, la respuesta y(t) también queda sustituida por su derivada dy(t)/dt, tal como se observa en la figura 1.5.

Figura 1.5. Diferenciabilidad en una red LIT

1.2.4. Integrabilidad

Si la entrada x(t) a una red LIT es sustituida por su integral ∫x(t)dt, la respuesta y(t) también quedará sustituida por su integral ∫y(t)dt. Figura 1.6.

Figura 1.6. Integrabilidad en una red LIT

1.2.5. Causalidad

Una red o circuito sin energía es causal si para una entrada cero (x(t) = 0), se tiene una salida cero (y(t) = 0), y se producirá una respuesta sólo

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