Ejercicios en digital

1. Un snowboarder se encuentra en el descanso superior de una colina. A medida que desciende por la pendiente se utilizan las coordenadas del GPS para determinar su desplazamiento en función del tiempo:

X = 0.5t² + t² +2t

Donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determinar la posición, velocidad y aceleración en el borde de la colina cuando t = 5 segundos.

Resolución:

(Para hallar la posición reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

X = 0.5t² + t² +2t

x = 0.5 * 5² + 5² +2 *5

x= 97.5 ft

 (Derivamos la ecuación de posición con respecto al tiempo para hallar la ecuación de la velocidad)

V = 1.5t + 2t +2

(Reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

V = 1.5 *5 + 2 *5 + 2

V = 49.5 ft/s

 (Hallamos la segunda derivada para obtener la ecuación de la aceleración)

 a = 3t + 2

(Reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

a = 3 * 5 + 2

a = 17 ft/s²

1. El movimiento de una partícula se define por la relación: 2t³ -9t² +12t +10. Donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la aceleración de la partícula cuando v = 0

Resolución:

 (Tenemos como dato la velocidad, por lo tanto, debemos hallar la primera derivada de la ecuación de posición y reemplazar el valor de la velocidad para obtener los tiempos)

V = 6t² -18t +12

0 = 6t² -18t +12

Utilizando la formula general obtenemos dos tiempos:  t1 = 2 ^ t2 = 1

 (Ahora sabemos que en t1 = 2 ^ t2 = 1 la velocidad será 0, por lo tanto, reemplazamos en las ecuaciones de posición y aceleración respectivamente)

X = 2t³ -9t² +12t +10

X1 = 2 *2³ - 9*2² +12*2 +10

X1 = 14 ft

X = 2t³ -9t² +12t +10

X2 = 2 *1³ - 9*1² +12*1 +10

X2 = 15 ft

a = 12t -18

a1 = 12 *2 – 18

a1 = 6  ft/s²

a = 12t -18

a2 = 12 *1 – 18

a2 = -6 ft/s²

1. El movimiento vertical de la masa A está definida por la relación x = 10sen(2t) + 15cos(2t) + 100, donde x y t se expresan en mm y segundos respectivamente. Determine:

1. La posición, velocidad y aceleración de A cuando t = 1 seg.

(Para obtener la posición en t = 1 reemplazamos en la ecuación que nos da el ejercicio)

X = 10sen (2t) + 15 cos(2t) + 100

X = 10sen (2*1) + 15 cos(2*1) + 100

X = 115.34 mm

(Determinamos la primera derivada de la ecuación de posición respecto al tiempo y reemplazamos t = 1)

 V = 20cos(2t) - 30sen (2t)

V = 20cos(2*1) - 30sen (2*1)

V = 18.94 mm/s

(Determinamos la segunda derivada de la ecuación de posición respecto al tiempo y reemplazamos t = 1)

a = -40sen(2t) -60cos(2t)

a = -40sen(2*1) -60cos(2*1)

a = -61.36 mm/s²

b) La máxima velocidad y aceleración de A

(Sabemos que un cuerpo alcanza su máxima velocidad cuando su aceleración es 0, aplicamos esto en la ecuación de aceleración)

0 = -40sen(2t) – 60cos (2t)

40sen(2t) = -60cos(2t)

[pic 1]

tan(2t) = -1.5

2t = -56.3 ---------- transformar de sexagesimales a radianes

                                                        -56.3 *∏/180

                                                        = -0.98 --- sumar ∏

                                                        = 2.158

t = 1.079

(Reemplazo el tiempo que tengo en la ecuación de la velocidad)

 V = 20cos(2t) - 30sen (2t)

V = 20cos(2*1.079) - 30sen (2*1.079)

V = 18.86 mm/s

aceleraciónmax = [pic 2]

aceleracionmax = 72. 11

1. El movimiento de una partícula se define por la relación - 2t³ -12t² +3t +3, donde x y t están expresadas en metros y segundo. Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando a = 0[pic 3]

(Vemos que como dato nos da una aceleración de 0 por lo tanto determinamos su ecuación y reemplazamos)

a = 72t² -12t -24

0 = 72t² -12t -24

Donde t = 0.67 s

(Ahora reemplazamos el valor obtenido en las ecuaciones de posición y velocidad)

X= - 2t³ -12t² +3t +3[pic 4]

X= - 2*0.67³ -120.67² +30.67 +3[pic 5]

X = 0.23 m

V = 24t³ -6t² -24t +3

V = 24*0.67³ -6*0.67² -24*0.67 +3

V = -8.56 m/s

1. El movimiento de una partícula está definida por la ecuación x= t³ -9t² +24t -8, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos. Determine:

1. Cuando la v = 0

0 = t² -18t +24

T1 = 4 ^ t2 = 2

1. Posición y distancia total recorrida cuando la a = 0

(Luego de haber obtenido la segunda derivada de la ecuación de la posición, reemplazamos a = 0)

a = 6t -18

0 = 6t -18

t = 3

(luego reemplazamos el tiempo obtenido en la ecuación de la posición)

x= t³ -9t² +24t -8

x= 3³ -9*3² +24*3 -8

x = 10

(Debo encontrar la posición en donde inicio el movimiento asi que reemplazo t = 0 en la ecuación de la posición)

 x= t³ -9t² +24t -8

x= 0³ -9*0² +24*0 -8

x = -8

Determino las distancias

D1 = Ixt2 – xt0I = I12-(-8)I = 20 in

D2 = Ixt3 – xt2I = I10-12I = 2 in

Total distancia recorrida  = 22 in

1. El movimiento de una particular se define por la relación x = t² - ( t -2 ) ³ donde x y t se expresan en pies y segundos. Determine:

1. Las dos posiciones en las que la v = 0

(Vemos que como dato nos da una v =  0 por lo tanto determinamos su ecuación y reemplazamos)

V = 2t – 3(t -2) ²

V = 2t -3 ( t² -4t +4)

V = 2t -3t² +12t -12

V= -3t² +14t -12

0 = -3t² +14t -12

t1 = 1.13 ^ t2 = 3.53

(Ahora reemplazo los tiempos obtenidos en la ecuación de la posición)

x = t² - ( t -2 ) ³

x = 1.13² -(1.13-2)³

x = 1.93 ft

x = t² - ( t -2 ) ³

x = 3.53² -(3.53-2)³  

x = 8.88 ft

1. La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 hasta t = 4 s

(Hallamos la posición inicial con t = 0)

x = t² - ( t -2 ) ³

x = 0² -(0-2)³  

x = 8 ft

(Ahora tenemos todas las posiciones)

X(0) = 8 ft

X(1.13)= 1.93 ft

X(3.53) = 8.88 ft

X (4) = 8 ft

 0 ≤ t ≤ 1.93

D1 = I1.93-8I = 6.06 ft

1.13 ≤ t ≤ 3.54

D2 = I8.88-1.93I = 6.94 ft

3.53 ≤ t ≤ 4

D3 = I8-8.88I = 0.88 ft

Distancia total recorrida 13 .88 ft

1. Los frenos de un automovil son aplicados lo que ocasiona una desaceleracion de -10 ft/s². Sabiendo que el automóvil se detiene en 300 ft determine:

1. Que tan rápido estaba viajando el coche antes de que se le aplicaran los frenos

1. El tiempo requerido para que el auto se detenga

1. Una particula se mueve en línea recta con una aceleración que se muestra en la figura. Si se sabe que empieza desde el origen con Vo= -24 ft/s.

1. Grafique las curvas V/t y X/t de intervalo de tiempo de 0 a 20 segundos y determine el valor de la velocidad y posición de la partícula para t=12.
2.    La distancia recorrida para 0 a 12 segundo.

Procedemos a hallar las respectivas áreas de la gráfica de aceleración.

V1=A1= 3*(4-0) = 12ft/s

V2=A2= 6*(10-4) = 36ft/s

V3=A3 = -5*(20-12) = -40ft/s

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