Análisis cinemático y dinámico

1. Análisis cinemático y dinámico.

La cinemática tiene por objetivo el expresar de forma matemática las relaciones entre los parámetros dimensionales del exoesqueleto con las restricciones impuestas por sus articulaciones. De esta forma se puede modelar la posición y orientación de cualquier punto en el exoesqueleto cuando se conoce la posición angular de cada una de sus articulaciones activas (motores).

Para el análisis del exoesqueleto en cuestión se lleva a cabo un enfoque en el cual se divide el exoesqueleto en cuatro extremidades, dos inferiores para las piernas y dos superiores para los brazos. El problema consiste en determinar la pose y posición de un punto arbitrario en el pie, así como en el efector final de la mano. El análisis plantea una solución general en la que las variables dimensionales de cada eslabón se expresan de forma simbólica, considerando el caso en el cual se incluyen el mayor número de articulaciones posibles para otorgar los grados de libertad (GDL) completos que brinden la movilidad equivalente a las del cuerpo humano.

Se Plantea un modelo cinemático de 7 grados de libertad (GDL) para cada pierna, para articulación de tipo revoluta se define un GDL independiente con sistemas cartesianos euclideanos locales y uno global en un punto generalizado en la cadera, adicionalmente se designa un centro de masa y gravedad del sistema

[pic 1]

Los sistemas cartesianos de cada articulación son sometidos a rotaciones θi sucesivas, se muestran los marcos locales en posiciones generalizadas con vectores de posición locales generalizados. Esto se considera de esta forma para que una vez que se realice el diseño dimensional se puedan sustiuir los parámetros a las ecuaciones simbólicas

 [pic 2]

De acuerdo a los diagramas anteriormente presentados, es posible determinar la matriz de transformación para cada uno de los sistemas cartesianos locales:

[pic 3]

La ecuación vectorial de lazo cerrado expresa el vector p hacia un punto arbitrario de cada pie

[pic 4]

Realizando las operaciones vectoriales, resulta en el siguiente vector de posición p

p = [px, py, pz, 0]

donde:

px = ax+Cos[θ7] (Cos[θ5] (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4]) Sin[θ5])-(Cos[θ6] (Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6]) Sin[θ7],ax+Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+(Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4]) Sin[θ6],ax+Cos[θ7] (Cos[θ6] (Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6])+(Cos[θ5] (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4]) Sin[θ5]) Sin[θ7],ax+bx+cx Cos[θ1]+dx Cos[θ1]+cz Sin[θ1]+dz Cos[θ2] Sin[θ1]+ez Cos[θ2] Sin[θ1]+dy Sin[θ1] Sin[θ2]+ey (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+ex (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+fx (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+fy (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])+fz (Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])+gz (Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])+gy (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+gx (Cos[θ5] (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hx (Cos[θ5] (Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hy (Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+(Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4]) Sin[θ6])+hz (Cos[θ6] (Cos[θ2] Cos[θ4] Sin[θ1]-(Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ3] Sin[θ1] Sin[θ2]-Cos[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ2] Sin[θ1] Sin[θ4])-(Cos[θ1] Cos[θ3]+Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6])

py = ay+Cos[θ7] (Cos[θ2] Cos[θ5] Sin[θ3]+(Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])-(Cos[θ6] (-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5]) Sin[θ6]) Sin[θ7],ay+Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5])+(-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4]) Sin[θ6],ay+Cos[θ7] (Cos[θ6] (-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5]) Sin[θ6])+(Cos[θ2] Cos[θ5] Sin[θ3]+(Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5]) Sin[θ7],ay+by+cy+dy Cos[θ2]+ey Cos[θ2] Cos[θ3]-dz Sin[θ2]-ez Sin[θ2]+ex Cos[θ2] Sin[θ3]+fx Cos[θ2] Sin[θ3]+fz (-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4])+gz (-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4])+fy (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])+gy (Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5])+gx (Cos[θ2] Cos[θ5] Sin[θ3]+(Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hx (Cos[θ2] Cos[θ5] Sin[θ3]+(Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hy (Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5])+(-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4]) Sin[θ6])+hz (Cos[θ6] (-Cos[θ4] Sin[θ2]-Cos[θ2] Cos[θ3] Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ2] Cos[θ3] Cos[θ4]-Sin[θ2] Sin[θ4])-Cos[θ2] Sin[θ3] Sin[θ5]) Sin[θ6])

pz = az+Cos[θ7] (Cos[θ5] (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])-(Cos[θ6] (Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6]) Sin[θ7],az+Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+(Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4]) Sin[θ6],az+Cos[θ7] (Cos[θ6] (Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6])+(Cos[θ5] (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5]) Sin[θ7],az+bz+cz Cos[θ1]+dz Cos[θ1] Cos[θ2]+ez Cos[θ1] Cos[θ2]-cx Sin[θ1]-dx Sin[θ1]+dy Cos[θ1] Sin[θ2]+ey (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+ex (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+fx (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+fy (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])+fz (Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])+gz (Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])+gy (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+gx (Cos[θ5] (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hx (Cos[θ5] (-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3])+(Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4]) Sin[θ5])+hy (Cos[θ6] (Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5])+(Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4]) Sin[θ6])+hz (Cos[θ6] (Cos[θ1] Cos[θ2] Cos[θ4]-(Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3]) Sin[θ4])-(Cos[θ5] (Cos[θ4] (Cos[θ1] Cos[θ3] Sin[θ2]+Sin[θ1] Sin[θ3])+Cos[θ1] Cos[θ2] Sin[θ4])-(-Cos[θ3] Sin[θ1]+Cos[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3]) Sin[θ5]) Sin[θ6])

...