Analisis cinematico y dinamico de sistemas mecanicos formados por varios solidos rigidos

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Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, Vol. 1,4,31-48(1985)

ANALISIS CINEMATICO Y DINAMICO

DE SISTEIMAS MECANICOS

FORMADOS POR VARIOS SOLIDOS RIGIDOS

JORGE UNDA

Y

JAVIER GARCIA DE JfiLON

Centro de Estudios e Investigaciones Ticnicas de Guipúzcoa

Escuela Superior de Ingenieros Industrhdes de San Sebastián

Universidad de Navaira

RESUMEN

En este artículo se presenta un nuevo método numérico de análisis cinemáticlo y dinámico con

computador de sistemas mecánicos formados por varios só!idos rígidos. El método presentado utiliza

un nuevo sistema de coordenadas no independientes fonnado por las coordenadas cartesianas de

algunos puntos del mecanismo y las componentes cartesiarias de algunos vectores cinitarios solidarios

al mismo, mediante los que se define la posición y el movimiento del sistema. Las ecuaciones de

restricción que ligan estas coordenadas se establecen coino condiciones de sólido rígido de cada

elemento y como restricciones de par. La inclusión de componentes cartesianas de vectores unitarios

dentro de este sistema de coordenadas, facilita en gran manera la formulación de las restricciones

de par cuando el par cinemático está asociado con una dirección particular, como sucede en los pares

de revolución (R), cilíndricos (C) o prismiíticos (P). Las ecuaciones de restricción resultan lineales

o cuadráticas. Las ecuaciones diferenciales del movimiclnto se obtienen fácilmente mediante el

Teorema de las Potencias Virtuales. Finalmente, se presentan algunos ejemplos de análisis de mecanis-

mos planos y tridimensionales.

SUMMARY

In this paper a new method for the nunierical kinematic and dynamic analysis of multi-rigid-body

systems is described. The method presented uses a neur system of non independent coordinates

formed by the cartesian coordinates of some points of the mechanism and by the cartesian compo-

nents of unitary vectors fixed t o it, which determine the position and the motion of the multi-rigid-

body system. The constraint equations arise from the rigicl body condition of each, element and from

the pair constraint equations. The inclusion of unitary vectors as mechanism coordinates allows

an easy formulation of pair constraints when the pair is related t o a particular direction, as in revolute

(R) cylindrical (C) or prismatic (P) pairs. The constraint equations are always linear or quadratic.

The differential equations of motion are obtained easily through the application of the Theorem

of Virtual Power. Some exarnples of dynamic analysis of planar and threedirnensional mechanisms

are presented.

INTRODUCCION

Muchos sistemas mecánicos pueden ser modelizados de forma efectiva como sistemas

formados por varios sólidos rígidos unidos ent:re sí. El análisis diinámico de estos

sistemas puede ser llevado a cabo rnediante mét.odos analíticos o mediante métodos

numéricos. Los métodos analíticos, como los detjcritos para sistemas tridimensionales

Recibido: Marzo 1985

t

3 Univasitat Politkcnica de Catalunya (España)

ISSN 0213-1315

32 JORGE UNDA Y JAVIER GARCIA DE JALON

en la referencia1, han aumentado considerablemente su campo de aplicación en los

últimos años, pero las dificultades teóricas y prácticas son tan grandes que la única

alternativa posible para lograr la generalidad en el análisis son los métodos numéricos.

Estos métodos han abierto la posibilidad de desarrollar programas de computador

~ , A D A M S ~y D A D S - ~ D ~ - ~ .

generales, como los bien conocidos D R A M ~ ,1MP4,

Las características distintivas de los métodos de análisis en que se basan estos progra-

mas son, por una parte, el tipo de coordenadas elegidas para la definición de la posición

y movimiento del mecanismo; por otro lado, las ecuaciones de restricción que ligan,

estas coordenadas, cuya formulación está estrechamente relacionada con el tipo de i

coordenadas elegido; y finalmente, el establecimiento de las ecuaciones de equilibrio1

dinámico cuya integración numérica permitirá conocer la evolución del mecanismo

a lo largo del tiempo.

En este artículo se presenta un método de análisis cinemático y dinámico de meca-

nismos basado en la utilización de un nuevo sistema de coordenadas dependientes,

denominadas "coordenadas naturales", cuyas ecuaciones de restricción son de fácil

formulación. Las ecuaciones diferenciales del movimiento se establecen mediante

el Teorema de las Potencias Virtuales, previa definición de las matrices de inercia

de los sólidos rígidos que forman el mecanismo y posterior ensamblaje de éstas en

la matriz de inercia del sistema.

COORDENADAS DE UN MECANISMO

El punto crucial de cualquier método de análisis cinemático y dinámico de meca-

nismos es la definición de las cccoordenadas" del mecanismo. Dichas coordenadas

vienen constituidas por un conjunto de parámetros no independientes que definen

unívocamente la posición de todos y cada uno de sus elementos; no son independientes

porque cualquier conjunto de parámetros cuyo número sea superior al número de

grados de libertad del mecanismo, deberá satisfacer ciertas ecuaciones de compatibili-

dad geométrica adicionales, que se conocen con el nombre de "ecuaciones de restric-

ción". Las ecuaciones de restricción juegan un papel de fundamental importancia

en el análisis de estos sistemas, y se corresponden estrechamente con el tipo de coorde-

nadas elegido.

Por otra parte, se definen las "coordenadas generalizadas" de un mecanismo como

un conjunto de coordenadas independientes, cuyo número coincide con el número

de grados de libertad del mismo. Las coordenadas generalizadas no determinan la

posición de todos los elementos del mecanismo sino a través de la resolución del

"problema de posición", que es un problema no lineal que puede tener varias solucio-

nes. Por esta razón, las coordenadas generalizadas no se pueden utilizar por sí solas

para definir la posición, sino que se suelen usar para definir las velocidades y acelera-

ciones de los elementos de entrada, o para la integración numérica de las ecuaciones

diferenciales del movimiento.

Así pues, la definición de las coordenadas del mecanismo y de las ecuaciones de

restricción constituyen el núcleo de todo método numérico de análisis cinemático

y dinámico de mecanismos.

Existen tres tipos principales de coordenadas de un mecanismo, que han dado lugar

a tres familias diferentes de programas de análisis con computador: las coordenadas

"relativas", utilizadas por los programas DRAM2*3e IMP4, las coordenadas de "punto

de referencia", utilizadas con ligeras variantes por los programas ADAMS5 y DADS-

3DG8; y las coordenadas "básicas" o "naturales", de las que hace uso el programa

COMPAMM9"13,y a las que se hará especial referencia en este artículo.

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ANALISIS CINEMATICO Y DINAMICO

Coordenadas relativas

Como se ha apuntado, las "coordenadas relativas" se usan en los programas DRAM

e IMP. Con ellas, la posición de cada elemento se define con relación al elemento

que le precede en la cadena cinemática, por medio de un número mínimo de paráme-

tros que dependen de los grados de libertad de movimiento relativo permitidos por

el par que une ambos elementos. Así, un par esférico introduce tres ángulos como

coordenadas relativas, un par cilíndrico introduce un ángulo y una distancia, y un par

de revolución introduce un único ángulo. La Figura 1 muestra un mecanismo tridi-

mensional RSCR en el que la posición de cada uno de sus elementos queda definida

por un conjunto de coordenadas relativas.

Figura 1

Las ecuaciones de restricción asociadas con 1z.s coordenadas relativas se obtienen

formulando vectorial o matricialmente las ecuaciones

...