Aplicaciones De La Integral Para Calculo Integral

APLICACIONES DE LA INTEGRAL PARA EL CÁLCULO DE DISTANCIAS

Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.

ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = .

De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: = = s(t2) - s(t1)

La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:

distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2] =

Problema

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:

a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

a) = = = 0.

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.

b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.

La distancia recorrida es:

=

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