Campo Vectorial

CAMPOS ESCALARES

Definamos primero, en general, lo que es un campo escalar.

Si admitimos que n variables pueden oficiar de explicativas (o independientes) en una relación funcional, diremos que estamos ante un campo escalar o función escalar de varias variables.

Si bien es posible utilizar la notación cuando el número de variables explicativas es muy elevado, nos vemos en la necesidad de recurrir a casi todo el abecedario. Es más cómodo, utilizar una única letra (comúnmente x) con subíndices 1, 2, 3,......i,..... en cuyo caso, la variable explicada podrá indicarse con y.

Nótese la diferencia entre tomar a x1, x2 ,........xn como distintos valores de una misma variable, como se presentó anteriormente, y el uso de dicha notación como distintas variables explicativas simultáneas del fenómeno estudiado.

Así el CAMPO ESCALAR de n variables se puede simbolizar como: , donde D es el conjunto dominio del campo e I es el recorrido del mismo.

CAMPO ESCALAR

Los elementos del dominio son n-uplas de números reales cuya graficación resulta imposible para n>3 y el rango es unidimensional, de manera que la representación gráfica de un campo sólo será posible cuando n = 2, pues nuestro espacio físico es de tres dimensiones y el dominio utilizará dos de ellas (el plano), quedando el otro eje (llamado normalmente z en matemática) para la representación de los distintos valores que toma el campo.

En términos gráficos, si n = 3 podrá representarse el dominio del campo, pero nos faltaría el eje para el valor de dicho campo (algunos autores lo consideran aparte).

Lo cierto es que si el dominio es unidimensional, la gráfica del campo pertenece al espacio bidimensional (función escalar de una variable); si el dominio es bidimensional, la gráfica está en el espacio de tres dimensiones (función escalar de dos variables) y como más allá es imposible representar nada, por abstracción aceptaremos que la gráfica de una funcióncuyo dominio pertenece a un espacio k-dimensional, estará en un espacio de dimensión ( k+1 ).

Los campos escalares de dos variables explicativas o independientes se simbolizan generalmente como . Las variables x e y ocuparán el plano conocido hasta entonces por todos, formado por los ejes de iguales nombres, y z, un tercer eje perpendicular al plano xy.

A la derecha se muestra una simple representación de un campo escalar.

Clasificación De Campos Escalares

Así como las funciones escalares pueden ser simples o compuestas, con los campos escalares o funciones multivariables sucede lo mismo.

Un campo escalar es simple cuando las variables explicativas x1 , x2 ,.....xn determinan el comportamiento de y sin que exista una explicitación de relaciones entre estas variables, ni de ellas con otras. Aquí el análisis realizado de las relaciones es en extención.

Un campo escalar compuesto analiza la vinculación de las variables explicativas con otras variables. Estos campos se asocian a estudios en profundidad, ya que se analiza la incidencia de una variable sobre otra y ésta sobre una tercera y de ésta .......sobre la función, en una búsqueda profunda de explicación final.

La combinación de los dos análisis permite una visión bastante completa del fenómeno que se está estudiando. Cuanto más profundo, mayor conocimiento se tendrá de las verdaderas causas de la variación de la función. Esto permite que la modelización de situaciones pueda llegar a ser más detallada y rigurosa.

En este capítulo solo nos dedicaremos a campos escalares simples.

DOMINIO DE UN CAMPO ESCALAR

Para analizar el comportamiento de un campo escalar o función multivariable, es muy útil conocer el dominio del mismo. Hemos hecho referencia al dominio de un campo escalar sin definirlo rigurosamente.

es dominio de

El dominio de un campo escalar n dimensional es el conjunto de todas las n - uplas para las cuales la función permite obtener una imagen real.

En el caso particular de n = 2:

La representación gráfica de este campo se realiza en el espacio tridimensional R3, utilizando dos ejes para las variables explicativas y uno para la función (variable explicada o dependiente). (Ver imagen anterior).

El dominio de una superficie en tres dimensiones, se presenta como la sombra que proyecta dicha superficie si la iluminamos perpendicularmente al plano xy. Dicha sombra se proyectará en este plano. Pero conocer el dominio sólo nos permite determinar el conjunto de pares (x,y) para los cuales el campo está definido. No nos da mucha información del comportamiento del mismo

Veamos algunos ejemplos de dominios:

Es decir que el dominio de este campo son todos los pares (x,y) del plano xy.

Aquí el dominio está deinido por todos los pares (x,y)

Del plano xy, exceptuando aquellos en que x toma el mismo valor que y

El dominio serán los pares (x,y) interiores y fronteras a la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.

A continuación se presentan las gráficas de varias superficies en tres dimensiones, realizadas con diferentes programas en computadora.

CURVAS DE NIVEL

Al observar las gráficas anteriores, podemos darnos cuenta, que el dibujo a mano de estas superficies no es sencillo. Para facilitar la concepción gráfica de las mismas sin ser experto dibujante y sin recurrir a la computadora en cada caso que se presente y, dado que no muchas veces interesa la forma de las superficies en R3 sino lo que ocurre analíticamente a la función a determinada altura, se utilizan los conjuntos de nivel (curvas de nivel si n=2, superficies de nivel si n=3, etc.). (Recuerda que n es el número de variables explicativas o independientes)

Para la función o campo escalar , las curvas de nivel son las intersecciones de la superficie que está en el espacio con planos paralelos al de su dominio, es decir xy.

A estas intersecciones se las proyecta sobre el plano de las dos variables explicativas para poder analizarlas.

Una curva de nivel k se puede definir como el conjunto de los infinitos puntos de la superficie que representa a la función y que se encuentran a una altura k con respecto al plano del "piso".

De la expresión simbólica se desprende que la curva se halla proyectada en el plano xy y que el valor de la función está tomando un valor constante k, lo que equivale a decir que z = k . Esta ecuación z = k corresponde a la de un plano paralelo al de las variables explicativas, es decir, el plano xy.

Para cada altura del plano con el que se intercepta la superficie tendremos una curva distinta y como la función no puede tomar dos valores para un mismo elemento del dominio las curvas de nivel no se interceptan.

Varias curvas de nivel constituyen una familia de curvas o mapa de contornos y su observación nos proporciona conocimiento acerca del comportamiento de la función a distintas alturas o valores constantes.

Estas son muy útiles para determinar mapas topológicos, por ejemplo de una montaña, curvas de producción constante, curvas isobáricas en los mapas, etc.

Para obtener analíticamente las curvas de nivel de una superficie tridimensional, se debe llegar a una ecuación que sea representable en el plano xy, al darle valores constantes a z.

Veamos algunos ejemplos en los que se han obtenido las curvas analíticamente y han sido graficadas con programas en computadora:

Entonces las curvas de nivel son parábolas , con ordenada al origen > 0

Las curvas de nivel son circunferencias de centro y radio con

Función de demanda de pintura de la Marca 1

Las curvas de nivel corresponden a ramas de parábolas, en el primer cuadrante (las variables explicativas en este caso especiales toman valores positivos) con ordenada al origen

Función de producción de Cobb Douglas

Las curvas de nivel corresponden a ramas de hipérbolas

Como se observa en estas gráficas las curvas de nivel están representadas con los correspondientes colores según las alturas coloreadas que se presentan en las superficies tridimensionales.

Estas ya están hechas.

CAMPO VECTORIAL

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de unamagnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedadesdiferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Definición [editar]

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclídeo

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