Integración en campos vectoriales / cálculo integral vectorial.

Ministerio de Educación[pic 1][pic 2]

Universidad Tecnológica de Panamá

Centro Regional de Veraguas

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Licenciatura en Ingeniería Electromecánica

Licenciatura en Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones

Investigación de cálculo III

Estudiantes:

Jhair Santos (9-755-1776)

Arlyn Batista (9-757-435)

Profesor:

Abdiel Malek

Año:

20 de noviembre de 2018

Tema: Integración en campos vectoriales / cálculo integral vectorial 

Indicaciones generales: Equipos de dos personas, deben investigar en libros o internet lo referente a los temas dados a continuación, Se debe responder de manera implícita a preguntas como: qué son (conceptos, definiciones, teoremas), para que usan (utilidad, aplicaciones), ejemplos resueltos (5) de cada uno, el trabajo debe ser entregado en digital, no impreso, nada en imagen ni escaneado.  

Temas a investigar: 

Campos vectoriales.

1. Integrales de línea.
2. Integrales de línea de campos vectoriales.

1. Integrales de superficie.

1. Teorema de Green.

 Rotación y divergencia

1. Teorema de divergencia.

1. Teorema de Stokes.

1. Integrales de línea

• ¿Qué son?

En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Una integral de línea se divide en:

1.1        Integral de línea de un campo escalar

1.2        Integral de línea de un campo vectorial

Definición. Sea f: Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ R n , y sea γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:

 [pic 3]

Existencia de la integral. Está asegurada, ya que el integrando es una función acotada en [a,b] y continua salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en ellos dicha función. De hecho, si hacemos una partición a = t0 < t1 < ... < tn = b del intervalo [a,b] de forma que, para k = 1,2,...,n, la restricción de γ al subintervalo [tk−1,tk] sea de clase C1 , podemos escribir

[pic 4]

Obteniendo una suma finita de integrales de funciones continuas. Resaltamos que al campo escalar f sólo se le exige estar definido y ser continuo sobre la curva Γ recorrida por el camino de integración. Habitualmente f tendrá propiedades de regularidad mucho mejores, siendo por ejemplo diferenciable en un abierto Ω que contenga a la curva Γ.

Casos particulares. En el caso n = 3, tendremos

[pic 5]

donde

x = x(t); y = y(t); z = z(t) (a < t < b)

son las ecuaciones paramétricas del camino γ. En el caso n = 2 tendremos solamente:

[pic 6]

• ¿Para qué se usan?

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
• O también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

• Ejemplos

1. Consideremos el campo escalar f definido en R 3 por

f(x) =  [pic 7]

 y el camino helicoidal γ dado por:

γ(t) = (cost , sent , t)  (0 ≤ t ≤ 4π).

f γ(t) =  t +   t +  = 1 +  (0 ≤ t ≤ 4π).[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

γ'(t) = (−sent , cost , 1)  , = √ 2 (0 ≤ t ≤ 4π).[pic 12]

[pic 13]

1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización

[pic 14]

La curva α es de clase C y, por tanto, es rectificable.

[pic 15]         

La longitud de [pic 16]será:

[pic 17]         

1. Evaluación de una integral de línea sobre una trayectoria

Evaluar[pic 18], donde C es la curva suave a trozos mostrada

Solución

Para empezar, se integra en sentido ascendente sobre la recta y=x, usando la parametrización siguiente

[pic 19]

En esta curva, [pic 20], lo que implica que [pic 21]. Por tanto,

[pic 22]

Y se tiene

[pic 23]

A continuación, se integra, sentido descendente, sobre la parábola [pic 24], usando

La parametrización

[pic 25]

En esta curva, [pic 26], lo cual implica que [pic 27]. Por tanto

[pic 28]

Y se tiene

[pic 29]         

4) Calcule la integral curvilínea

Z

(x + 2) dx + 3zdy + y2dz, γ

siendo γ una parametrización de la curva intersección de las superficies

        x2 + y2 + z2 = 1,        z = x − 1.

Solución:

Parametricemos la curva:

[pic 30]

[pic 31]

Para que se cumpla esta condición podemos tomar el parámetro t tal que:

[pic 32]

[pic 33]

con t ∈ [0,2π] pues de esta forma se recorre toda la curva. Así:

[pic 34]

[pic 35]

Calculamos ahora la integral:

[pic 36]

5) Calcule C(x + y), siendo C un triángulo de vértices (0,0), (1,0) y

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