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Índice General

1 Funciones Analíticas 1

1.1 Introducción a los Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Denición de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Raíces de Ecuaciones Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Unicidad de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Propiedades de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Interpretación Geométrica de la Multiplicaci'on . . . . . . 6

1.2.2 Propiedades Varias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 La Proyección Estereográca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Algunas Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 La Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.3 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.4 Potencias Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.5 La Función Raíz n-ésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.6 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Funciones Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.1 Topología y Continuidad en C . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.2 Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.4 Conformalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann en Coordenadas Polares . 41

1.5.6 Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.7 Conjuntos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.8 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6 Diferenciación de las Funciones Elementales. . . . . . . . . . . . . 45

1.6.1 La Exponencial y el Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.6.2 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.6.3 La Función Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6.4 La Función Raíz n-ésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6.5 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i

ii ÍNDICE GENERAL

2 Integración 53

2.1 Integrales Sobre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1 Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.2 Ejemplos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Teorema de Cauchy. Versión Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.1 Demostración Usando el Teorema de

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