EDO En Circuitos

. Estudios de transitorios de circuitos.

a.- Circuito resistivo-inductivo serie.

La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:

La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:

vr = i . R

vl = L . di

dt

Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor instantáneo de la tensión en función del tiempo será:

v = i . R + L . di

dt

En esta última expresión observamos:

1.- La respuesta a la transición depende de una ecuación diferencial lineal de primer orden y donde este viene dado por la cantidad de elementos reactivos del circuito.

2.- Debido a que hay una excitación v, la ecuación es no homogénea lo cual dificulta su resolución.

Analizaremos ahora el comportamiento de este circuito bajo diversos tipos de excitación.

2.- Circuito R L sin excitación con condiciones iniciales no nulas.

Este caso es denominado: Régimen natural

Partamos del siguiente circuito:

Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente Io como se indica en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:

t = 0 entonces i = Io

Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.

El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en el resistor.

Del párrafo anterior sabemos que:

v = i . R + L . di

dt

Pero en este caso v = 0, por lo tanto:

0 = i . R + L . di

dt

Esta última ecuación diferencial es lineal de primer orden y homogénea, la cual puede resolverse separando diferenciales, o sea, se procede como sigue:

i . R = - L . di

dt

- R . dt = di

L dt

Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:

ln i = - R . t + K

L

El valor de la constante K de integración, lo obtenemos aplicando a la última expresión las condiciones iniciales, es decir:

t = 0 entonces i = Io por lo tanto

ln Io = K

valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

ln i = - R . t + ln Io

L

operando en esta última expresión obtenemos:

ln i - ln Io = - R . t

L

de donde:

i / Io = e –(R/L) t

Es decir que el proceso tiene una variación exponencial , se inicia cuando la relación de intensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero tal cual se indica en el gráfico:

Hallemos ahora el valor de la subtangente, en el triángulo formado en la figura por los ejes y la recta tangente a la curva en t=0, observemos:

tg  = St / 1 de donde St = 1 . tg a)

por otro lado:

di / dIo = - R . e –(R/L) t = - R/L = tg (tg (b)

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