EL TEOREMA DE SHANNON

INTRODUCCION

En este trabajo se hablará acerca del teorema de Shannon. Que este trata de un complejo análisis matemático donde se establece la velocidad máxima en bits por segundo que se puede alcanzar en cualquier sistema de comunicación real. En pocas palabras, es una teoría matemática de la comunicación. Observaremos  y aprenderemos más sobre este teorema.

CONTENIDO

• EL TEOREMA DE SHANNON

En 1948 se publicó dentro de la revista de los laboratorios Bell (EEUU) un artículo titulado “A Mathematical Theory of Communication” por el investigador de dicho laboratorio Claude E. Shannon. Dicho artículo, de aproximadamente 50 páginas de extensión, es un complejo análisis matemático donde se establece la velocidad máxima en bits por segundo que se puede alcanzar en cualquier sistema de comunicación real. Claude E. Shannon realizó dicho estudio sobre un sistema de comunicación en general, sin particularizar en ningún medio de transmisión en concreto, por lo que a lo largo de todo el artículo no aparece ninguna mención a componentes o circuitos eléctricos, electrónicos, ópticos o cualquier otro sistema susceptible de emplearse en comunicaciones digitales. Es, como su propio título indica, una teoría matemática de la comunicación. En la siguiente imagen se muestra un fragmento del teorema de Shannon:

[pic 1]

Como se ha indicado anteriormente, Shannon estudia el caso general de un sistema de comunicación, compuesto por un emisor, un receptor, un canal de transmisión y una fuente de ruido, que en todo sistema real de transmisión existe en mayor o menor medida. En la siguiente imagen se muestra la representación del propio Shannon de dicho sistema general de comunicaciones.

[pic 2]

A partir del esquema anterior y a lo largo de más de cincuenta páginas, Claude E. Shannon demuestra mediante complejos cálculos matemáticos su famoso teorema de las comunicaciones. Todo el artículo está lleno de límites, derivadas, integrales, cálculos de estadística y probabilidades y otros procedimientos matemáticos.  En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de dichos cálculos[pic 3]

Afortunadamente el resultado final del teorema de las comunicaciones de Shannon es una pequeña fórmula, fácil de aplicar y de recordar, y de consecuencias fundamentales para todos los sistemas de comunicaciones modernas:[pic 4]

En la fórmula de Shannon, C es la velocidad máxima en bits por segundo, B es el ancho de banda en Hz y S/N es la relación señal a ruido (signal/noise), sin unidades. Para cualquier sistema de transmisión con un determinado ancho de banda y con una relación dada de señal a ruido, el teorema de Shannon limita la velocidad máxima en bps que se puede obtener, sea cual sea la técnica de transmisión empleada. El límite de velocidad que impone el teorema de Shannon a cualquier sistema real de transmisión hay que entenderlo de la misma manera que existe una temperatura de cero absoluto y por debajo de la cual no se puede bajar o el límite de la velocidad de la luz, por encima de la cual no se puede subir. Y esto es válido para cualquier sistema de transmisión (fibra óptica, radio, cable de pares, cable coaxial, etc). Ni se puede sobrepasar hoy en día ese límite ni tampoco se podrá sobrepasar en el futuro.[pic 5]

Por ejemplo, en un sistema de comunicaciones como es la telefonía analógica, que utiliza un ancho de banda de 3100 Hz (300-3400) y tiene una relación de señal a ruido de unos 35,5 dB (la señal es aproximadamente 3548 veces mayor que el ruido), la velocidad máxima que se podrá obtener será de:

[pic 6]

Este valor es el límite teórico impuesto por el Teorema de Shannon, al cual los módems sobre línea analógica se han acercado pero nunca lo han igualado. Por eso estos módems sobre líneas analógicas han tenido como velocidad máxima  33600 bps, y eso a costa de utilizar complejas codificaciones y modulaciones de la señal, que en ausencia de condiciones óptimas de la línea, obliga siempre a los módems a negociar una velocidad aún más baja.

[pic 7]

Un caso similar lo tenemos en los accesos ADSL, donde frecuentemente los usuarios demandan velocidades que a determinada distancia de la central no es posible suministrar, se haga lo que se haga. ¿Por qué no es posible dar, por ejemplo, 20 Mbps a un usuario que vive a 5 Km de la central y sin embargo si es posible dar dicha velocidad a uno que vive a 300 metros de la central? La respuesta de nuevo está en el teorema de Shannon: el usuario que vive a 5 km de la central tiene un bucle de abonado o par de hilos de cobre con un ancho de banda muy inferior respecto del que vive a 300 metros de la central y además, también tendrá con seguridad una peor relación señal a ruido.[pic 8]

Otro caso muy claro donde el teorema de Shannon hace acto de presencia es en las instalaciones de cableado estructurado, donde una instalación de categoría 3 solo permitirá una velocidad de 10 Mbps mientras que una instalación de categoría 5e permitirá 1000 Mbps, es decir 1 Gbps y una instalación de categoría 6A permitirá 10 Gbps. ¿En qué se diferencian estas instalaciones entre sí? Fundamentalmente en el ancho de banda de las señales que dejan pasar sin dificultad, 16 MHz para la categoría 3, 100 MHz para la categoría 5e y 500 MHz para la categoría 6A.

[pic 9]

Categorías TIA/EIA de cableado estructurado junto con los parámetros a verificar

Para más detalles sobre velocidades y anchos de banda en instalaciones de cableado estructurado, se puede consultar la siguiente entrada que está en el blog dedicado a fibra óptica e instalaciones de redes en general y que también llevamos desde el instituto Tartanga: Categorías de cableado estructurado y aplicaciones de las mismas.

Y si bien hasta ahora los ejemplos anteriores han sido referidos a cables de cobre, como se ha dicho al comienzo, el teorema de Shannon es válido para cualquier sistema de transmisión actual o incluso para cualquier nuevo sistema que se descubra en el futuro.

Y aunque no lo conocieran en su momento, también ha afectado a todas las comunicaciones en el pasado. Por ejemplo a las comunicaciones mediante tambores: en este caso se ve con claridad que el límite de velocidad vendrá dado por la velocidad con la que el emisor puede golpear el tambor y al mismo tiempo producir sonidos lo suficientemente separados para que los pueda identificar el receptor, es decir, el ancho de banda, y también por el ruido ambiente que exista en el momento de la comunicación. Parece claro que en una situación de mucho ruido ambiente -cerca de una catarata, con ruido de animales, con el ruido producido por una tormenta o con cualquier otra clase de ruido, la relación señal a ruido del canal de comunicación será menor y por tanto el emisor no podrá enviar la información a la misma velocidad que cuando no había ruido (suponiendo que estaba ya enviando la información en el límite de Shannon, sino no es necesario que disminuya su velocidad). Deberá por tanto de golpear el tambor a menor velocidad para permitir al receptor identificar los sonidos, es decir, disminuyendo la velocidad de envío de información a las nuevas condiciones del canal de comunicación o si quiere mantener la velocidad de envío de información, deberá de golpear el tambor con más fuerza, aumentando de nuevo la relación señal a ruido.[pic 10]

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