Ecuaciones Lineales

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se realizó para saber los tipos de sistemas de ecuaciones lineales y también saber su aplicación en ingeniería civil; un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo, el sistema de ecuaciones lineales se pueden resolver de diferentes maneras como por ejemplo el de igualación, reducción, método gráfico, método de Gauss, Eliminación de Gauss y Regla de Cramer, el sistema de ecuaciones lineales se utiliza también en la ingeniería civil por lo que se pone un ejemplo en este trabajo sobre el análisis de una estructura estáticamente determinada y el cual en la aplicación se utilizó el sistema de ecuaciones lineales, la Ingeniería Civil es una especialidad que nos adhiere a la sociedad mediante el diseño y ejecución de obras, y en el proceso de sus acciones también hace uso de las matrices ya que se utilizan para el diseño de sistemas estructurales en las diversas áreas que ocupa la Ingeniería Civil. Las matrices sirven para resolver sistemas de ecuaciones lineales, estos a su vez tienen múltiples aplicaciones en el área de ingeniería dando lugar a al óptimo manejo de recursos humanos y de materiales monitoreados y controlados desde un sistema de diseño

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

{█(〖〖3x〗_1+ 〖2x〗_2+ x〗_3=1@〖〖 2x〗_1+〖2x〗_2+ 4x〗_3=-2@〖〖-x〗_1+ 〖1/2 x〗_2- x〗_3=0)┤

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en señales, análisis, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

a_11 x_1+a_12 x_2+⋯ +a_1n x_n= b_1

a_21 x_1+a_22 x_2+⋯ +a_2n x_n= b_2

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

a_m1 x_1+a_m2 x_2+⋯ +a_mn x_n= b_m

Donde 〖x_1,….,x〗_n son las incógnitas y los números a_ij∈Kson los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. K [=R,C,…]Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

[█(■(a_11&a_12@a_21&a_22 ) ■(⋯&a_1n@⋯&a_2n )@■(⋮&⋮@a_m1&a_m2 ) ■(⋱&⋮@⋯&a_mn ))] [█(■(x_1@x_2@⋮)@x_n )]= [█(■(b_1@b_2@⋮)@b_m )]

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

AX = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Un sistema con n incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (híper) planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistema compatible determinado ↔det⁡(A)≠0

SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

{█(x+2y=1@2x+4y=2)┤

Tanto la primera como la segunda ecuación

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