Ecuaciones Lineales

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se realizó para saber los tipos de sistemas de ecuaciones lineales y también saber su aplicación en ingeniería civil; un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo, el sistema de ecuaciones lineales se pueden resolver de diferentes maneras como por ejemplo el de igualación, reducción, método gráfico, método de Gauss, Eliminación de Gauss y Regla de Cramer, el sistema de ecuaciones lineales se utiliza también en la ingeniería civil por lo que se pone un ejemplo en este trabajo sobre el análisis de una estructura estáticamente determinada y el cual en la aplicación se utilizó el sistema de ecuaciones lineales, la Ingeniería Civil es una especialidad que nos adhiere a la sociedad mediante el diseño y ejecución de obras, y en el proceso de sus acciones también hace uso de las matrices ya que se utilizan para el diseño de sistemas estructurales en las diversas áreas que ocupa la Ingeniería Civil. Las matrices sirven para resolver sistemas de ecuaciones lineales, estos a su vez tienen múltiples aplicaciones en el área de ingeniería dando lugar a al óptimo manejo de recursos humanos y de materiales monitoreados y controlados desde un sistema de diseño

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

{█(〖〖3x〗_1+ 〖2x〗_2+ x〗_3=1@〖〖 2x〗_1+〖2x〗_2+ 4x〗_3=-2@〖〖-x〗_1+ 〖1/2 x〗_2- x〗_3=0)┤

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en señales, análisis, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

a_11 x_1+a_12 x_2+⋯ +a_1n x_n= b_1

a_21 x_1+a_22 x_2+⋯ +a_2n x_n= b_2

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

a_m1 x_1+a_m2 x_2+⋯ +a_mn x_n= b_m

Donde 〖x_1,….,x〗_n son las incógnitas y los números a_ij∈Kson los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. K [=R,C,…]Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

[█(■(a_11&a_12@a_21&a_22 ) ■(⋯&a_1n@⋯&a_2n )@■(⋮&⋮@a_m1&a_m2 ) ■(⋱&⋮@⋯&a_mn ))] [█(■(x_1@x_2@⋮)@x_n )]= [█(■(b_1@b_2@⋮)@b_m )]

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

AX = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Un sistema con n incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (híper) planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistema compatible determinado ↔det⁡(A)≠0

SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

{█(x+2y=1@2x+4y=2)┤

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0,5 y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

sistema compatible indeterminado →det⁡〖A=0〗

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero

SISTEMAS INCOMPATIBLES

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

{█(x+2y=4@2x+4y=7)┤

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Sistema imcompatible →det⁡〖A=0〗

EJEMPLO: APLICACIÓN ANALISIS DE UNA ESTRUCTURA ESTATICAMENTE DETERMINADA.

Un problema importante en la ingeniería estructural es determinar las fuerzas y reacciones asociadas con una estructura estáticamente determinada. En la figura 12.4 se muestra un ejemplo de tal estructura.

Las fuerzas (F) representan, ya sea la tensión o la comprensión de los elementos de la estructura. Las reacciones externas (H2,V2, Y V3 ) son fuerzas que caracterizan como interactua la estructura con la superficie de soporte. El apoyo en el nodo 2 puede transmitir ambas fuerzas, horizontal y vertical a la superficie, mientras que el rodillo en el nodo 3 transmite solo fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de 1000 Ib se distribuye a lo largo de varios elementos de la estructura.

Solución. El tipo de estructura se puede describir como un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales. Los diagramas de cuerpo libre se muestran para cada nodo en la figura 12.5. La suma de las fuerzas en ambas direcciones, vertical y horizontal, deben ser cero en cada nodo, ya qye el sistema esta en reposo. Por lo tanto, para el nodo 1,

∑▒〖F_u=0= -F_1 cos⁡〖30°+F_3 cos⁡〖60°+ F_(1,h) 〗 〗 〗

∑▒〖F_v=0= -F_1 sen⁡〖30°-F_3 sen⁡〖60°+ F_(1,f) 〗 〗 〗

Para el nodo 2

∑▒〖F_H=0= F_2+F_1 cos⁡〖30°+F_(2,h)+H_2 〗 〗

∑▒〖F_H=0= F_1 sen⁡〖30°+F_(2,v)+V_2 〗 〗

Para el nodo 3,

∑▒〖F_H=0= F_2-F_3 cos⁡〖60°+F_(3,h) 〗 〗

∑▒〖F_H=0= F_3 sen⁡〖60°+F_(3,v)+〗 〗 V_3

donde Fi,h es la fuerza horizontal externa que se aplica sobre el nodo i (donde la fuerza es positiva de izquierda a derecha) y Fi,v es la fuerza vertical externa que

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