Ecuaciones Lineales

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

Donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:

Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.

Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:

Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.

Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.

En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos encontrar un sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones.

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo

5x-3y=2

3x-4y=-1

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

15x-9y=6

-15x+20y=5

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

11y=11

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

Y=1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la “x” desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo “y” por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

5x-3=2

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es x=1.

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

a=b

a=c

Donde a, b, y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones

De las dos igualdades anteriores se deduce que

b=c

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación

b=c

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos x .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye x por su solución en otras ecuaciones donde aparezca x para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

2x - 3y = -1

2x + 4y = 6

Es equivalente a este otro

2x = -1 + 3y

2x = 6 – 4y

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

-1 + 3y = 6 – 4y

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es y = 1.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

2x – 3 = -1

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es x = 1.

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí a, b, c, d, e y f son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

4x + 3y = 7

...