FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

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NOTACIÓN        INDICIAL        Y

OPERACIONES CON TENSORES.

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FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS.

MAESTRO: DR. FRANCISCO CERVANTES NAVARRO

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8 DE FEBRERO DE 2019

INTEGRANTES:

MEZA ROMERO CARLOS ALBERTO, SUAREZ GASTELUM ORLANDO,

ORTIZ CAMACHO CÉSAR ALEJANDRO, CESEÑA CESEÑA CARLOS ANDRÉS, RODRÍGUEZ HIGUERA JORGE, SANTOS CESEÑA AURELIO JOSÉ,MÉNDEZ CAMACHO RONALDO ALEXIS,SANDOVAL LÓPEZ OSKAR ENRIQUE.

CUARTO “E” INGENIERIA CIVIL.

Índice

Tema………………………………………………………………..No. de página.

Introducción………………………………………………………………….2

1.0. Notación Indicial…………………………………………………….....3

1.1. Notación Indicial en los Ejes de Coordenadas…………………..3

1.2 Índices Libres…………………………………………………………3

1.3. Índices Mudos………………………………………………………..4

2.0. Operación con Tensores……………………………………………… 7

2.1.        Suma        de        Tensores        y        multiplicación        de        un        escalar        por        un        tensor.

…………………………………………………………………………………9

2.2. Producto Escalar…………………………………………………….10

2.3. Producto Tensorial…………………………………………………..11

2.4. Producto Vectorial…………………………………………………...12

2.5. Doble Producto Escalar……………………………………………..13

Conclusión…………………………………………………………………….15

Bibliografía…………………………………………………………………….16

1

Introducción.

A causa de la manera en que manejamos la información que creemos que nos puede complicar mucho en los procesos que estemos manejando, se ha decidido crear formar de simplificar la información para simplemente transferirla cuando sea necesario, es por eso que se ha creado ese tipo de manejo de información como lo son la notación indicial para la representación de los campos vectoriales, o multidimensionales.

En notación indicial, es una forma que se utiliza para asemejar los Tensores, que son una de las primeras notaciones o formas de representación de información que se manejan en este curso, la coordinación de la notación indicial junto con las operaciones de tensores facilitan un poco el orden trabajo.

Es por eso que dentro de esta investigación presentaremos las maneras en las que se maneja la notación indicial, y como se maneja las operaciones básicas de tensores.

2

1.0.        Notación Indicial.

La notación indicial es una herramienta poderosa para manipular ecuaciones multidimensionales. Sin embargo, en determinadas ocasiones la notación vectorial usual puede resultar más útil o práctica. Por lo tanto, resulta importante ser capaces de convertir fácilmente cualquier expresión de una notación a la otra.

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La notación detallada en el cuadro anterior para los tensores de rango 2 se extrapola de forma directa a tensores de mayor rango, simplemente mediante la incorporación de índices adicionales (en la notación tensorial) y mediante el uso de un mayor número de líneas debajo del símbolo correspondiente (en el caso de la notación vectorial usual).

La notación indicial o de Einstein se utiliza en el desarrollo de este trabajo por razones de precisión en la definición y de comodidad a la hora de la programación.

Esta consiste en que todo índice repetido en un mismo monomio de una expresión algebraica supone la sumatoria con respecto a ese índice.

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1.1.        Notación Indicial en los Ejes de Coordenadas.

Utilizando notación indicial los ejes del sistema de coordenadas son designados por la letra x con un subíndice. Por eso xi no representa un único valor, sino i valores, es decir x1 , x2

• x3 ( si i = 1,2,3 ) donde estos valores ( x1 , x2 , x3 ) corresponden respectivamente a los ejes(x, y, z).

En el sistema de coordenadas cartesianas, un vector es representado por sus componentes en la base del citado sistema de la siguiente manera:

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Donde eˆ 1, eˆ 2, eˆ 3 son vectores (vectores unitarios), y a1, a2, a3 son las componentes del vector. En notación indicial las componentes del vector serán representadas por a1.

1.2.        Índices Libres.

Es aquel índice que aparece en cada término aditivo de cualquier expresión.

Por ejemplo, la siguiente expresión:

3

=        +

Donde i, sería el índice libre al encontrarse en los tres términos.

Un índice libre implica que existen tres ecuaciones independientes, tomando en cuenta que estamos en un espacio tridimensional. Esto quiere decir que, el índice libre ya sea i, j o k nos toma los valores de 1, 2 o 3 y con ella cada ecuación. Por ejemplo, en la siguiente ecuación se denota lo mencionado:

...