Mecánica de medios continuos. Unidad 3

Universidad De Las Californias Internacional.

Faculta de Ingeniería Civil.

Mecánica de medios continuos.

Unidad 3.

Alumno: Arévalo Martinez Jesus.

Profesor: Juan Antonio Alfonso Álvarez.

                                                                                                                        Fecha:25 /07/2019

Índice.

Introducción.        4

Método de los elementos finitos.        5

Elasticidad tridimensional.        8

Deformaciones unitarias.        10

Tipos de elementos.        12

Elasticidad tridimensional en placas delgadas.        13

Relaciones cinematicas.        15

Elasticidad tridimensional en placas circulares.        17

En conclusión:        19

Bibliografía        20

Introducción.

Este tipo de métodos veremos el comportamiento de dichas placas de diferentes tipos de materiales normalmente de acero y o de aluminio.

Al mencionar el comportamiento de dichas placas nos referimos más que nada en la elasticidad de dicho material y a las deformaciones que esta puede provocar y así tener una idea más cercana de qué tipo de materiales estamos trabajando.

Para eso nos adentramos al método de elementos finitos como punta pie de toda la secuencia de fórmulas, después de tener ese punto de referencia no concentramos de lleno en la elasticidad tridimensional en las placas ya sean delgadas, circulares o rectangulares para poder apreciar un comportamiento en las coordenadas indicas de manera correcta y concisa.

Método de los elementos finitos.

Antes de tocar la elasticidad tridimensional debemos comenzar el método de los elementos finitos para poder comprender de mejor manera el tipo de ecuaciones que emplearemos.

El método de los elementos finitos es un método de aproximación de problemas continuos, de tal forma que:

Supongamos que el continuo se divide en un numero finito de partes a los cuales llamaremos elementos, cuyo comportamiento especifica mediante un numero finito de parámetros asociados a ciertos puntos característicos los cuales denominaremos nodos.

A estos nodos se les conoce mejor como los puntos de unión de cada elemento con sus adyacentes.

El comportamiento de dichos números finitos establece que en el interior de cada elemento queda definido a partir del comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o funciones de forma.

Este tipo de métodos se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua en un modelo discreto aproximado, esta transformación se denomina discretizacion del modelo.

El conocimiento de lo que sucede en el interior de este modelo del cuerpo aproximado, s obtiene mediante la interpolación de los valores conocidos en los nodos.

Es por tanto una aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un número determinado y finito de puntos. (Celigueta, 25)

Para dicho método tiene una determinada aplicación que es de la forma más intuitiva de comprender lo anterior mencionado.

El método se puede entender, desde un punto de vista estructural, como una generalización del cálculo matricial de estructuras al análisis de sistemas continuos.

Este método nació por la evolución de aplicaciones a sistemas estructurales.

Fórmulas para comprender el método finito:

Un elemento finito viene definido por sus nodos y por su contorno formado por líneas que los unen.

Los desplazamientos  de cualquier punto del elemento se aproximan por un vector columna .[pic 2]

[pic 3]

                                                             [pic 4]

N  son funciones de posición dadas (funciones de forma) y  es un vector formado por los desplazamientos nodales de los elementos considerados. Para el caso de tensión plana:[pic 5]

[pic 6]

U: son los movimientos horizontal y vertical en un punto en un punto cualquiera del elemento.

a: son los desplazamientos de nodo i.

Las funciones N han de escogerse de tal forma que al sustituir en las coordenadas nodales se obtengan los desplazamientos nodales.

Conocidos los desplazamientos de todos los puntos del elemento, se pueden determinar las deformaciones en cualquier punto de cualquier tipo de coordenadas.

De esta manera se puede tomar por vista de la manera más sencilla el hecho de estudiar la elasticidad tridimensional de diferentes ángulos. (Celigueta, 25)

[pic 7]

Elasticidad tridimensional.

Los problemas de elasticidad en tres dimensiones son bastantes frecuentes en la práctica ingenieril, y se presentan sobre todo en elementos que, por su proceso de fabricación, o necesidades funcionales no pueden tener una dimensión mucho menor que las otras dos.

El cálculo de tensiones y deformaciones en un sólido en tres dimensiones es un problema que no tiene mayor complejidad conceptual que el caso bidimensional, por lo que el método finito se aplicó desde un principio a este tipo de problemas.

[pic 8]

Campo de desplazamientos.

Un punto cualquiera del solido tiene tres desplazamientos u,v,w, que son función de las coordenadas (x,y,z) del punto, y que se agrupan en u vector: (Celigueta, 25)

Ejemplo de elasticidad trimensional.

[pic 9]

Un nudo cualquiera de un elemento tiene tres desplazamientos U, V, W, todos ellos se agrupan formando el vector de desplazamientos nodales del elemento:

[pic 10]

               [pic 11]

Elemento finito tridimensional de 8 nudos.

Los desplazamientos se interpolan en función de los desplazamientos nodales mediante las funciones de interpolación:

...