Mecanica del medio continu

Mecanica del medio continu

La mecánica del continuo estudia la modelización matematica de los fenómenos tenso-deformaciones que tiene lugar en la materia, partiendo de la hipótesis de la distribución continua de esta en el volumen que ocupa el desarrollo de la mecánica del continuo, puede considerarse como la continuación del proceso emprendido con la creación de la mecánica de fluidos, a principios del siglo XX, intentando aplicar los conocimientos de hidrodinámica, a la mecánica de los gases, en pleno desarrollo de la utilización de vapores en las maquinas termicasy de las aeronáuticas. El siguiente paso era unificar en el mismo cuerpo teorico la mecánica de los solidos deformables y la mecánica de fluidos, lo que dio lugar a la creación de la mecánica del continuo.

El desarrollo de las técnicas operacionales de las matematicas modernas, sobre todo el calculo tensorial y matricila, han facilitado la exposición de los conceptos tratados en la mecánica del continuo . la mayor parte de los fenómenos físicos estudiados responden a una modelización matematica tensorial de segundo y cuerto orden.

A partir del principio de tensión de Cauchy se deduce el carácter tensorial de segundo orden del estado tensional enb el entorno de un punto. El calculo matricial nos permite operar comodamente con las componentes del tensor de tensiones, definiéndose la matriz de tensiones en un sistema de referencia OX1X2X3, como la matriz

A11 A12 A13

Aij= A21 A22 A23

A31 A32 A33

Que relaciona al ector tensión t con una dirección n(l1,l2,l3) mediante la expresión matricial:

t 1 A11 A12 A13 l1

t2 = A21 A22 A23 l2

t3 A31 A32 A33 l3

igualmente la mecánica del continuo deduce el carácter tensorial de segundo orden del estado de deformación en el entorno de un punto, operando con la matriz de deformaciones

E11 E12 E13

Eij = E21 E22 E23

E31 E32 E33

Otras magnitudes tensoriales de segundo orden, manejadas como matrices de 3X3 eln la mecánica del continuo, son el tensor vorticidad, H, y el tensor velocidad de deformación, V.

H11 H12 H13 V11 V12 V13

Hij = H21 H22 H23 Vij = V22 V22 V23

H31 H32 H33 V31 V32 V33

Mediante el criterio de tensorialidad “ley del cociente” se determina el carácter tensorial de cuarto orden de las constantes elásticas en un punto de un medio continuo elástico, Cijld, lo que nos permite, utilizando el calculo matricial, relacionar las tensiones y las deformaciones según la ley de Hooke generalizada.

A11 A12 A13 E11 E12 E13

A21 A22 A23 = C E21 E22 E23

A31 A32 A33 E31 E32 E33

Donde la matriz C es

C1111 C1112 C1113 C1211 C1212 C1213 C1311 C1312 C1313

C1121 C1122 C1123 C1221 C1222 C1223 C1321 C1322 C1323

C1131 C1132 C1133 C1231 C1232 C1233 C1331 C1332 C1333

C2111 C2112 C2113 C2211 C2212 C2213 C2311 C2312 C2313

C= C2121 C2122 C2123 C2221 C2222 C2223 C2321 C2322 C2323

C2131 C2132 C2133 C2231 C2232 C2333 C2331 C2232 C2333

C3111 C3112 C3113 C3211 C3212 C3213 C3311 C3312 C3313

C3121 C3122 C3123 C3221 C3222 C3223 C3321 C3322

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