Medios continuos

Fórmula

Sección

Utilización

[pic 1]

(1.1)

Ley del paralelogramo, define al vector suma de dos vectores como la diagonal de un paralelogramo que tiene los vectores sumandos como lados adyacentes.

[pic 2]

(1.2)

La sustracción de vectores está caracterizada por la adición del vector negativo como se indica.

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(1.3)

Las operaciones de adición y sustracción de vectores son conmutativas y asociativas como se observa.

[pic 4]

(1.4)

En general, la multiplicación de un vector por un escalar produce un nuevo vector que tiene la misma dirección que el vector original pero una magnitud diferente.

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(1.5)

La multiplicación de un vector por un escalar es asociativa y distributiva.

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(1.6)

La multiplicación de un vector por un escalar es asociativa y distributiva.

[pic 7]

(1.7)

En el caso importante de la multiplicación de un vector por el recíproco de su magnitud, resulta un vector unitario que tiene la dirección del vector original.

Λ=[pic 8]

(1.8)

El producto simbolizado por un punto o producto escalar de dos vectores a y b es el escalar.

V=[pic 9]

(1.9)

El producto simbolizado por una aspa o vectorial de a por b es el vector v.

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(1.10)

El triple producto escalar de dos vectores, uno de los cuales es un producto vectorial.

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(1.11)

El triple producto vectorial es una de los cuales es un producto vectorial. Con la frecuencia resulta útil la siguiente identidad para expresar el producto vectorial de a por bxc.

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(1.12)

Al producto indeterminado a los vectores a y b, que se define escribiendo los vectores en justa posición ab, se le denomina una diada.

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(1.13)

Si en cada diada de (1.12) se intercambian los antecedentes y consecuentes, la diádica resultante se denomina diádica conjugada de D y se escribe.

[pic 14]

(1.14)

Si cada diada de D en (1.12) se sustituye por un producto escalar de los dos vectores resulta un escalar que se conoce como escalar de la diádica D y se escribe.

[pic 15]

(1.15)

Si cada diada de D en (1.12) se sustituye por un producto vectorial de los dos vectores, el resultado se denomina, vector de la diádica D y se escribe.

[pic 16]

[pic 17]

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(1.16)

(1.17)

(1.18)

El producto indeterminado de vectores obedece las leyes distributivas.

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(1.19)

(1.20)

Si  Λ y µ son escalares cualesquiera.

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[pic 22]

(1.21)

(1.22)

Si v es un vector cualquiera, los productos escalares v.D y D.v son los vectores definidos respectivamente por.

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(1.23)

En (1.21) D se denomina postfactor, y en (1.22) prefactor. Dos diádicas D y E son iguales, si y solamente si para cada vector v, se cumple.

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(1.24)

La diádica unidad, o factor idéntico l, es una diádica que se puede representar por.

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(1.25)

La diádica l se caracteriza por la propiedad. Para todo vector v.

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[pic 28]

(1.26)

(1.27)

Los productos vectoriales v x D y D x v son diádicas definidas respectivamente por.

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(1.28)

El producto escalar de dos diadas ab y cd es la diada definida por.

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(1.29)

De (1.28); el producto escalar de dos diádicas cualesquiera D y E es la diádica.

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(1.30)

Se dice que las diádicas D y E son recíprocas la una de la otra.

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(1.31)

(1.32)

(1.33)

(1.34)

Los dobles productos escalares y vectoriales se definen también para las diadas ab y cd.

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(1.35)

Algunos autores también usan el doble producto escalar definido por.

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(1.36)

Se dice que una diádica D es autoconjugada o simétrica, sí.

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(1.37)

Anti-autoconjugada o antisimétrica.

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(1.38)

Cada diádica puede ser expresada únicamente como la suma de una diádica simétrica y otra antisimétrica.

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[pic 41]

(1.39)

(1.40)

Simétrica.

Antisimétrica.

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(1.41)

La unicidad se establece suponiendo una segunda descomposición, D= G*+ H*.

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(1.42)

Ecuación conjugada de (1.41).

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(1.43)

Cualquier vector v puede ser expresado en este sistema por una combinación lineal de tres vectores arbitrarios del sistema, no nulos ni coplanares, que son denominados vectores base.

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(1.44)

Los vectores base son por hipótesis linealmente independientes, es decir la ecuación se satisface solamente si .[pic 46]

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(1.45)

(1.46)

La elección más frecuente para los vectores base de un sistema Cartesiano rectangular es el conjunto de vectores unitarios , a lo largo de los ejes coordenada. Estos vectores base constituyen una triada de vectores unitarios de rotación positiva.[pic 49]

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(1.47)

En términos de la triada unitaria , se puede expresar por.[pic 51]

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(1.48)

Según la 1.7, el vector unitario en la dirección de v, está dado por la ecuación ya mostrada.

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(1.49)

En la forma de componentes Cartesianas el producto escalar de a y b está dado por la ecuación ya mostrada.

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(1.50)

Para los mismos vectores, el producto vectorial a x b es representado por la ecuación mostrada.

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(1.51)

El resultado de la ecuación anterior se presenta frecuentemente en la forma de determinante.

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(1.52)

El triple producto escalar también se puede representar en la forma de componentes por el determinante.

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(1.53)

En la forma de componentes cartesianas, la diada ab está dada por la ecuación ya mostrada.

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(1.54)

Debido a los nueve términos que se originan 1.53 es conocida como la forma nonion de la diada ab. Cualquier diádica se puede expresar en la forma nonion.

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(1.55)

Se dice que es un vector a es función de un segundo vector b, si a queda determinado siempre que se dé.

Esta relación funcional se expresa por la ecuación.

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(1.56)

(1.57)

Se dice que la función f es lineal cuando se satisfacen las condiciones ya mostradas.

[pic 62]

(1.58)

Escribiendo b en la forma de componentes cartesianas, la ecuación anterior se convierte en la mostrada.

[pic 63]

(1.59)

Si es f es lineal, se puede escribir de la manera mostrada.

[pic 64]

(1.60)

Sea en la ecuación anterior f ()= u, f ()= v, f ()= w, entonces la nueva ecuación queda de la forma mostrada.[pic 65][pic 66][pic 67]

[pic 68]

(1.61)

Un producto escalar vector-diádico y que puede ser escrito de la manera mostrada. Esto demuestra que cualquier función vectorial lineal f puede ser expresada como un producto vector-diádico.