Factorización

Factorización

Introducción

La factorización es un tema muy interesante y poco abordado en algunos niveles de estudio pero es un tema muy interesante que serviría de mucho si se le practicara y aprendiera.

La factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños, en el caso de números debemos utilizar los números primos que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

En este trabajo abordaremos los tipos de factorización que hay y pondremos algunos ejemplos para que se les pueda practicar y aprender.

Los tipos de factorización que vamos a abordar son:

*Máximo común divisor

*Factorización de polinomios

*Factorización por agrupamiento

*Factorización de trinomios x2+bx+c

*Factorización de trinomios ax2+bx+c

*Combinación de distintos métodos de factorización

*Factorización de otros productos notables

Factorización Máximo común divisor

Factorizar un numero entero significa expresarlo como producto de otros números enteros, así,

20 = 1 x 20

= 2 x 10

= 4 x 5

Encontrar las listas de todos los factores de cada número, fijarse en los comunes a ambas listas y elegir el mayor de ellos.

Encontrar la descomposición de factores primos de ambos números. Considerar aquellos primos que son factores de ambos números.

Algoritmo de Euclides. Se divide el número mayor entre el menor. Si el residuo no es cero, se divide el divisor anterior entre el residuo obtenido y se continua de esta manera hasta que el residuo es cero.

Factorización de polinomios

MCD de monomios Para encontrar el MCD de dos o más monomios, encontramos el MCD de los coeficientes y nos fijamos en las variables que aparecen en todos los monomios, elegimos las que aparezcan elevadas al menor exponente.

Ejemplo.

Encontrar el MCD de 20x3y2 y 16x2y4z.

Solución:

El MCD de 20 y 16 es 4

Las variables que aparecen en ambos monomios son x y y.

Cada variable común elevada al menor exponente x2y2

El MCD de 20x3y2 y 16x2y4 es 4x2y2

MCD de un polinomio Ejemplo.

Factorizar el MCD de 20c3d2 – 45c2b5.

Solución:

El MCD de 20c3d2 y 45c2d5 es 5c2d2

Escribimos 20c3d2—45c2d2= 5c2d2(4c—9b3).

Factorización por agrupamiento.

Solución:

Llamemos z al número, entonces su reciproco es 1z.

Planteamos la ecuación z=1z=- 103.

Resolvemos la ecuación. Manipulamos a z como si fuera un número. Para ello multiplicamos la ecuación por z y después por 3:

Ahora pasamos todos los términos de un lado de la igualdad para tener una ecuación igualada a cero

Para factorizar el polinomio 3z2+10z+3 escribimos el termino 10z de la siguiente manera

Agrupando y factorizando obtenemos

Para que el producto de dos factores sea cero alguno de ellos debe ser cero, entonces

De donde, el número buscado es:

*Factorización de trinomios x2*+bx+c

¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la presentación del número 27 en dicho sistema se 123?

Solución:

Debemos escribir el número 123 en forma desarrollada. Recuerda que en los sistemas de numeración posicionales, cada posición indica una potencia de la base, entonces el 1 está en lugar de la base al cuadrado, el 2 está en el lugar de la base a la primera potencia y el 3 en el lugar de la base elevada a cero así, el número se escribe

Y como este número es igual a 27 entonces la ecuación que obtenemos es

Pasamos todos los términos de un lado de la igualdad, para obtener una ecuación igualada a cero

Ahora factorizamos el polinomio. Debemos encontrar dos números tales que el producto de ellos sea -24 y cuya suma sea 2. Tales números son 6 y -4

Por la propiedad del cero en la multiplicación tenemos que

Despejando obtenemos las soluciones

a= - 6 o a=4

Como las bases de

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