Relaciones

¿Qué es una relación?

Una relación de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto de AxB (producto cartesiano)

Ejemplo

sea A={1,2} y B={a,b,c} entonces AxB={ (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

Entonces una relación puede ser

R1= {(2, c)} o también

R2= {(1, a), (1, b), (2, b)}

En fin cualquier subconjunto de AxB

Por ejemplo si quieres saber el domino de una relación: son todos elementos de A que se relacionan con uno de B

Por ejemplo para R2 el dominio es: domR2 {1,2}

Y el codominio son todos los elementos de B que se relacionan con uno de A

codR2= {a, b}

¿Qué es una relación binaria?

Dado cualquier par de elementos de un conjunto que cumplen o no una propiedad determinada se dice que establecen una relación binaria.

A menudo la relación R es definida en A, esto es, R (A x A y se dice que R: A→A o simplemente R(A), que denominaremos “relación binaria definida en A”. Este tipo de relación es de gran importancia para aplicaciones de la computación y en matemáticas aplicadas.

La representación gráfica o geométrica de las relaciones se realiza de igual manera que con el producto cartesiano. Los diagramas sagitales son muy útiles desde el punto de vista didáctico, los diagramas cartesianos tienen su importancia cuando se quiere graficar utilizando variables continuas, por ejemplo, para definir las relaciones en el conjunto de los números reales.

Los dígrafos, en el ámbito tecnológico, tienen gran uso y es por tal razón que se enfatizará en esta representación gráfica.

Dígrafos. También conocidos como grafos dirigidos de la relación. Son utilizados fundamentalmente para representar relaciones de manera gráfica. Tienen cierta semejanza a los diagramas sagitales; sin embargo se diferencian, básicamente en que los dígrafos o simplemente grafos dirigidos se usan para representar relaciones binarias definidas en un solo conjunto y los elementos de la gráfica del conjunto van unidos con flechas.

¿Cuáles son las propiedades de la relación?

Las relaciones cumplen con ciertas propiedades que apoyan la gran importancia en aplicaciones computacionales y en el desarrollo de las matemáticas aplicadas.

Sea A un conjunto finito cualquiera y R:A→A una relación, entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. Relación reflexiva

Se dice que una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente, ((x(A)(xRx)) .

Si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}, entonces es “reflexiva”, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.

2. Relación anti-reflexiva

Una relación R definida en A es “anti-reflexiva” si ninguno de los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si no hay elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente, ((x(A)(x[pic]x))

Si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(4,5),(2,4),(5,2),(6,7),(7,6)}, entonces R es anti-reflexiva, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.

3. Relación no reflexiva

Se dice que una relación R definida en A es “no reflexiva” siempre que algunos elementos de A no están relacionados consigo mismo; es decir, si no todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente, ((x(A)(x[pic]x))

Si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,6),(6,5),(7,7)}, entonces R es “no reflexiva”, porque no todos los elementos de A están relacionados consigo mismo y otros no.

4. Relación simétrica

Una relación R definida en A es “simétrica” cuando todas las parejas de la relación tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple que si xRy, entonces yRx. Simbólicamente, ((x,y(A)(xRy→yRx).

Si A= {2, 4, 5, 6, 7} y R: A→A es una relación definida por R= {(2,2), (6,4), (5,6), (6,5), (4,6)}, entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco.

5. Relación anti simétrica

Una relación R definida en A es “anti simétrica” cuando ninguna pareja de la relación tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple que si (x, y)(R, entonces (y, x)(R; pero, si (x, y)(R y (y, x)(R, entonces x=y. Simbólicamente, ((x, y(A)(xRy→ y[pic]x)) o también, ((x,y(A)(xRy[pic]yRx→x=y).

Si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,2),(4,5),(7,7)}, entonces R es “anti simétrica”, porque ninguna de sus parejas tiene su recíproco y si la tuviese, entonces la pareja sería reflexiva.

6. Relación no simétrica

Una relación R definida en A es “no simétrica” cuando algunas parejas son simétricas o tienen su recíproco y otras no lo tienen; es decir, no todas las parejas de R cumplen que si (x, y)(R, entonces (y, x)(R; es decir, algunas parejas de R cumplen que (x, y)(R y (y, x)(R. Simbólicamente, ((x,y(A)(xRy[pic]y[pic]x)

Si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(5,4),(5,6),(6,5),(7,7)}, entonces R es “no simétrica”, porque algunas de sus parejas tienen su recíproco y otras no.

7. Relación transitiva

Una relación R definida en A es “transitiva” siempre que un elemento esté relacionado

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