Sistemas Electromecanicos

7. MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS

Estos sistemas involucran dentro de su estructura una combinación de elementos eléctricos mecánicos trabajando conjuntamente y su análisis se realiza generalmente sobre cada una de estas componentes y sobre la interacción de la parte mecánica sobre la eléctrica y viceversa. La mayoría de estos sistemas usan algún principio relacionado con el magnetismo y la inducción magnética como elemento de acople entre ellos. La figura 7.1 muestra algunos ejemplos típicos de sistemas electromecánicos:

Figura 7.1 Ejemplos de aplicación de los sistemas electromecánicos

Las dos principales leyes que se adicionaran a las ya vistas para los sistemas mecánicos (Newton) y para los circuitos eléctricos (Kirchoff) son la de Faraday y la ley de Lorenz. La primera demostró que sobre un conductor que se mueva cortando las líneas de fuerza de un campo magnético (figura 7.2) se producirá una fuerza electromotriz (Fem) inducida cuya expresión es:

〖Fem〗_ind=-Blv

Figura 7.2 Efecto de inducción de Fem sobre un conductor en desplazamiento

En el caso de la ley de Lorentz, cuando un conductor por el que circula una corriente I(t) eléctrica se sumerge en un campo magnético B, el conductor sufre una fuerza F perpendicular al plano formado por el campo magnético y la corriente, (Figura 7.3) lo cual se puede sintetizar en la siguiente expresión

F=BLi(t)

Figura 7.3 Fuerza magnética sobre un conductor

Donde:

F: Fuerza en newtons

I: Intensidad que recorre el conductor en amperios

l: Longitud del conductor en metros

B: Densidad de campo magnético o densidad de flujo teslas

Ejemplo:

El sistema que se muestra en la figura 7.4, corresponde al esquema básico de funcionamiento de la apertura de una puerta a través de un medio eléctrico

Figura 7.4 Cerrojo Eléctrico

El circuito eléctrico se encarga de suministrar la energía para que el electroimán desplace la masa M la cual se encuentra amortiguada a través de un resorte y un amortiguador, en este caso se desea determinar como es el comportamiento del desplazamiento (x) de la masa a través del tiempo.

Se encuentran bien definidos dos subsistemas que pueden ser analizados independientemente sin perder la noción de que debe existir una conexión entre ambos.

Para la componente eléctrica:

Esta se limita a una malla simple compuesta por una resistencia, bobina, y fuente de tensión. Se debe adicionar a la ecuación del circuito una tensión que considere la FEM inducida sobre la bobina, al desplazarse el núcleo de la misma dentro de un campo magnético, con lo cual se obtiene una ecuación de la forma:

con

El valor de  esta dado por el producto vectorial del campo magnético (B), la longitud de la bobina (L) y la corriente (i) que circula por la misma. La FEM inducida e(t) será proporcional a  y a la velocidad de desplazamiento del embolo. Se asumirá en este caso que estas tres magnitudes estarán dispuestas de tal forma que su producto será escalar y no vectorial.

Para la componente mecánica:

La parte mecánica del sistema se puede plantear a partir de un diagrama de cuerpo libre del mismo como se muestra a continuación en la figura 7.5.

Figura 7.5 Diagrama de cuerpo libre Cerrojo mecánico

Donde:

La fuerza Fe aparece de la interacción del campo magnético producido en la bobina con el núcleo ferromagnético del embolo.

Aplicando leyes de Newton se obtiene:

ó

Llevando al dominio complejo S mediante transformada de Laplace y reorganizando las ecuaciones del circuito y la parte mecánica se encuentra:

Combinando adecuadamente estas dos últimas ecuaciones se puede encontrar una función de transferencia que relacione el comportamiento del desplazamiento del embolo, con respecto al voltaje aplicado:

El diagrama de bloques del sistema será el mostrado en la figura 7.6:

Figura 7.6 Diagrama de bloques sistema Cerradura Eléctrica

Ejemplo:

Modelo matemático de un Galvanómetro

El galvanómetro ó medidor D’Arsonval, es usado para medir la corriente y formó parte durante mucho tiempo de los dispositivos de medición en voltímetros y amperímetros, hoy por hoy desplazados por indicadores digitales en lo modernos sistemas de medición. La corriente a medir circula a través de un bobinado que tiene adjuntado un apuntador (aguja). El bobinado se coloca dentro de un campo magnético y es envuelto alrededor de un núcleo de hierro (figura 7.7).

Figura 7.7 Galvanómetro y esquema de funcionamiento

En la figura 7.8 se muestran los diagramas de los dos componentes principales del sistema:

Figura 7.8 Diagramas Eléctrico y Mecánico del Galvanómetro

El torque producido por el componente electromagnético debido a la ley de Lorentz esta expresado por

τ=BLi

Este torque finalmente es aplicado al componente mecánico esta dado por

Jθ ̈=-bθ ̇-kθ+τ

Remplazando el torque anteriormente hallado

jθ ̈+bθ ̇+kθ=BLi

La fuerza contraelectromotriz inducida Fem, (Vb) en este caso esta en función de la velocidad angular al que esta sometido el eje que sostiene la aguja indicadora

v_b=BLθ ̇

Finalmente el componente eléctrico corresponde a una bucla simple que puede ser descrita aplicando las leyes de Kirchhoff

v_i-Ri-l di/dt-v_b=0

L di/dt+Ri+BL dθ/dt=v_i

Aplicando transformada de Laplace a las funciones de interés se obtiene:

(js^2+bs+k)θ(s)=BLI(s)

(Ls+R)I(s)+BLsθ(s)=V_i (s)

Despejando I(s) en la primera de estas últimas ecuaciones y remplazando en la siguiente se puede encontrar una función de transferencia que permita estudiar el comportamiento del desplazamiento angular Θ(s) para cualquier cambio en la tensión Vi (s) de entrada.

(θ(s))/(V_i (s))=BL/(Ljs^3+(Lb+Rj) s^2+(kL+RL+B^2 L^2 )s+Rk)

Ejemplo:

Modelo matemático de un micrófono

A continuación se elaborará el modelo matemático de un micrófono convencional teniendo en cuenta que su principio de funcionamiento se aproxima a los planteamientos realizados anteriormente. La figura 7.9 muestra la estructura del mismo.

Figura 7.9 Micrófono y esquema de funcionamiento interno

El funcionamiento de un micrófono se basa en el desplazamiento espacial producido por una bobina dentro de un campo magnético. Esta compuesto por un diafragma que se desplaza debido a la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras la cual es trasmitida a la ferrita que sirve de núcleo a la bobina. Este movimiento finalmente se convierte en una señal eléctrica que posteriormente puede ser amplificada

El componente mecánico del sistema se puede esquematizar como se muestra a continuación en la figura 7.10 al igual que el correspondiente diagrama de cuerpo libre.

Figura 7.10 Componente mecánica del micrófono y diagrama de cuerpo libre

f(t)-k_1 (x(t)-y(t))-b_1 (x ̇(t)-y ̇(t))=M_d x ̈(t)

-k_2 y(t)-k_1 (y(t)-x(t))-b_1 (y ̇(t)-x ̇(t))=M_b y ̈(t)

Aplicando transformada de Laplace y reordenando se obtiene:

〖(M〗_d s^2+b_1 s+k_1)x(s)-(b_1 s+k_1 )y(s)=F(s)

(b_1 s+k_1 )X(s)=(M_b s^2+b_1 s〖+k〗_2 )Y(s)

Combinando adecuadamente estas dos expresiones se puede encontrar la relación existente entre el desplazamiento del diafragma y el desplazamiento de la bobina el cual está dado por:

(y(s))/(x(s))=(b_1 s+k_1)/(M_b s^2+b_1 s+k_2 )

Combinando adecuadamente las dos ecuaciones iniciales en el dominio de Laplace se consigue la relación existente entre la fuerza aplicada por las ondas sonoras y el desplazamiento de la bobina y(t)

(Y(s))/(F(s))=(b_1 s+k_1)/((M_d s^2+b_1 s+k_1 )(M_b s^2+b_1 s+k_1 )-〖(b_1 s+k_1)〗^2 )

Finalmente la componente eléctrica está dada por la fuerza contraelectromotriz generada por la bobina la cual es proporcional a la inducción de campo B, al número de espiras (n), a la longitud de las espiras l y al desplazamiento relativo de la bobina y(t) lo cual se expresa como

e(t)=2Bnl y ̇(t)

E(s)=2BnlsY(s)

Teniendo en cuenta que el desplazamiento que ocasionará el fenómeno de fuerza contraelectromotriz inducida (señal eléctrica a ser amplificada) es el de la bobina y(t), entonces la función de transferencia de interés es:

G(s)=(E(s))/(Y(s))

Combinando las ecuaciones anteriores se consigue:

(E(s))/(F(s))=(2Bnls(b_1 s+k_1))/((M_d s^2+b_1 s+k_1 )(M_b s^2+b_1 s+k_1 )-〖(b_1 s+k_1)〗^2 )

Ejemplo:

Modelo matemático de un altavoz

A continuación se mostrará un esquema básico del funcionamiento de un parlante, y se hallará

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