Teoria De Boole Y Morgan

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL

“RODOLFO LOERO ARISMENDI”

IUTIRLA

EXTENSIÓN MATURÍN

TEOREMA DE

BOOLE Y MORGAN

MATURÍN JUNIO 2013

ÍNDICE

Contenido

INTRODUCCIÓN 3

PLANTEAMIENTO TEÓRICO-CONCEPTUAL: 4

RESEÑA HISTÓRICA 5

¿POR QUÉ ESTUDIAR LÓGICA MATEMÁTICA? 6

ÁLGEBRA DE BOOLE 7

PROPOSICIONES SIMPLES Y SENTIDO COMÚN. 8

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS: 9

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD. 10

LA NEGACIÓN 10

LA CONJUNCIÓN. 11

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA 12

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 13

LA CONDICIONAL 13

LA BICONDICIONAL 14

TRADUCIENDO DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE SIMBÓLICO 15

TABLAS DE VERDAD PARA PROPOSICIONES COMPLEJAS 16

ÁLGEBRA BOOLEANA Y CIRCUITOS ELECTRÓNICOS 18

LEYES DE MORGAN 19

TEOREMA DE MORGAN 21

BIBLIOGRAFIA 25

INTRODUCCIÓN

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,

Haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función

DESARROLLO

PLANTEAMIENTO TEÓRICO-CONCEPTUAL:

Según el escritor panameño Moisés Chong, en su obra Lecciones de Lógica e Introducción al Método Científico el concepto de la Lógica se entiende “como una ciencia formal y, de manera más exacta como una disciplina desligada por completo de todo posible contenido o materia. Pero la lógica estudia, también, las estructuras del pensamiento, con lo cual queda entendido que no se ocupa del estudio acerca de qué es el pensamiento sino cómo es, qué formas o estructuras tiene éste. Y como ciencia formal, la Lógica estudia aquello a lo que el conjunto de las ciencias particulares reconoce pero sin estudiarlo, a saber el pensamiento”

Continua Moisés Chong en su obra diciendo “que la Lógica puede ser entendida, también, como aquella ciencia que se ocupa de la determinación y descripción de las formas generales del raciocinio empleado, siempre y cuando se razone atendiendo a los principios legítimos del pensamiento. Aquí hay que tomar en cuenta que las leyes del pensamiento son leyes de orden natural en las cuales no le es posible al hombre intervenir. Este hecho indica el carácter objetivo de las leyes lógicas, las cuales representan las conexiones internas y necesarias y en las que se produce el cambio de los procesos y de las propiedades del pensamiento lógico. Así por ejemplo, dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí; si se trata de un hecho, de una verdad de carácter objetivo, evidente, natural y simple; y en términos normales todo el mundo admite este principio tan pronto como llega a comprender el significado real que encierra”

Concluye diciendo el citado autor que: “sin embargo, la Lógica tiene un campo de aplicación en la vida diaria. de hecho, las distintas operaciones lógicas son practicadas por el hombre sin que sea indispensable el conocimiento riguroso, exacto de los principios involucrados allí. Por lo que llegamos a esta otra verdad; el hombre aprende a razonar, no en los tratados o textos de la lógica, sino en las distintas ciencias especiales que se sirven de la lógica. Y así ocurre que la Lógica no enseña a razonar, de la misma manera como la fisiología no nos enseña ni el conocimiento; ni el conocimiento de la física a ser buenos corredores. De hecho, la Lógica se aprende en la vida común y corriente, sucediendo con ella algo semejante a lo que ocurre con la gramática, la cual no nos enseña a hablar, pero si nos enseña las reglas para ser más correctos, precisos y exactos en la expresión escrita y hablada. “La Lógica, en su orden de ideas, tiene la cualidad de vigorizar nuestras facultades mentales (Grau)”

RESEÑA HISTÓRICA

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.

Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).

En esta unidad se representan las puertas lógicas elementales, algunas puertas complejas y algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así como algunas cuestiones de notación. Por otra parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta escrita en vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno adentraros en el mundo de la lógica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la matemática que subyace en ella.

¿POR QUÉ ESTUDIAR LÓGICA MATEMÁTICA?

Aprender estadística o estudiar economía “es muy difícil”: así se expresan la mayoría de los estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden a entender lo que ocurre en el mundo circundante los alumnos o los políticos y gobernantes. Simplemente no entienden lo que pasa en la sociedad porque no saben relacionar los conocimientos que se le proporcionan en las escuelas (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real.

Otro problema grave es que el aprendizaje recibido en un sistema educativo deficiente, tal como el nuestro no es significativo, por tal razón para poder iniciar un curso

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