Teoria De Colas

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

MODELO DE UNA COLA SIMPLE

OBJETIVOS

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

TERMINOLOGIA

A menos que se establezca otra cosa, y tomando como referencia [Cao-02], se utilizará la siguiente terminología estándar:

• N(t): Denota el número de clientes en el sistema en el instante t. N(t) es un proceso estocástico en tiempo continuo y con espacios de estados discreto.

• Nq(t): Representa el número de clientes en la cola en el instante t.

• Pn(t): Es la probabilidad de que, en el instante t, se encuentren n clientes en el sistema. A estos efectos se supone conocido el número de clientes en el instante cero (usualmente dicho número es cero).

• s: Denota el número de servidores del mecanismo de servicio.

• λn: Representa el número medio de llegadas de clientes al sistema, por unidad de tiempo, cuando ya hay n clientes en él. También se denomina tasa de llegadas

• μn: Es el número medio de clientes a los que se les completa el servicio, por unidad de tiempo, cuando hay n clientes en el sistema.

• ρ: Es la llamada constante de utilización del sistema o intensidad de tráfico. Se define, como:

Cuando los λn son constantes y todos los servidores tienen la misma distribución de tiempo de servicio, λ es el número medio de clientes que entran en el sistema y sμ es el número medio de clientes a los que pueden dar servicio los s servidores cuando todos están ocupados. En estas condiciones, ρ representa la fracción de recursos del sistema que es consumida por los clientes.

CONCEPTOS BASICOS

Los siguientes conceptos, como se puede ver en [Cao-02], son de utilidad para analizar las características y el comportamiento de un modelo de colas estacionario:

• N: Es la variable aleatoria que contabiliza el número de clientes en el sistema.

• Nq: Denota la variable aleatoria número de clientes en la cola.

• pn: Es la probabilidad de que se encuentren n clientes en el sistema (n = 0, 1,…).

• L: Representa el número medio de clientes en el sistema, es decir L = E(N).

• Lq: Que no es más que el número medio de clientes en la cola, o lo que es lo mismo, Lq = E(Nq).

• ฟ: Es la variable aleatoria que describe el tiempo que un cliente pasa en el sistema o también llamado tiempo de espera en el sistema (incluyendo el tiempo de servicio) para cada cliente.

• ฟq : Representa el tiempo que un cliente espera en la cola.

• W: Es el tiempo medio que un cliente está en el sistema. En términos matemáticos, W = E(ฟ).

• Wq: Denota el tiempo medio de espera en la cola para un cliente genérico. Matemáticamente, Wq = E( ฟq).

NOTACION DE KENDALL

Para clasificar los posibles tipos de sistemas de colas debemos especificar las características que determinan los elementos que lo componen. Así, Kendall (ver [Bos-02], [Cao-02] o [Hil-97]) introdujo en 1953 la notación A/B/s para indicar que la distribución del tiempo entre llegadas es de del tipo A, que B es la distribución del tiempo de servicio y que s es el número de servidores.

Posteriormente esta notación se extendió dando lugar a la más habitual en nuestros días, consistente en designar el sistema de una cola con la nomenclatura A/B/s/K/H/Z, donde:

• A es la distribución del tiempo entre llegadas. Algunas de las abreviaturas más usadas para las distribuciones entre llegadas son: M (exponencial), D (determinística), Ek (Erlang con segundo parámetro k), U (uniforme), Γ (gamma) o G (distribución genérica), entre otras.

• B es la distribución del tiempo de servicio. Se usan las mismas abreviaturas que las mencionadas para A.

• s es el número de servidores del sistema. Puede ser un número entero positivo (s = 1, 2,…) o bien s = ∞.

• K es la capacidad de la cola (o longitud máxima de la misma). También K puede ser un número entero mayor o igual que cero, o bien K = ∞ , si no hay límite para la cola. El valor de K puede omitirse, tomándose por defecto K = ∞ .

• H es el tamaño de la población potencial. También puede ser finito o infinito.

• Este último valor es el que se toma por defecto cuando se omite su valor.

• Z es la disciplina en la cola. Algunas abreviaturas para Z son FIFO, LIFO, RSS, PR (disciplina con prioridades) o GD (disciplina general). Su valor por defecto (en caso de omitirse Z) es FIFO.

REDES DE COLAS

Se presentan aquí los modelos básicos de redes de colas abiertas y cerradas con distribución del tiempo de servicio y distribución del tiempo entre llegadas (si es el caso) exponencial. Además se impondrá la restricción de que los clientes que salen servidos de una de las colas que compone la red se mueven instantáneamente y con ciertas probabilidades prefijadas a cualquier otra posible cola de la red.

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