Apuntes De Cálculo

CALCULO INTEGRAL

Considerando las operaciones matemáticas fundamentales se puede establecer una relación entre ellas: Operaciones Inversas:

La Adición y la Substracción

La Multiplicación y la División

La Potenciación y la Radicación

De lo anterior se puede establecer que: El Cálculo Integral es la operación inversa del Cálculo Diferencial, su estudio se hace importante y necesaria para determinar las funciones originales o primitivas de los comportamientos de los objetos en reposo o en movimiento, que son expresiones matemáticas algebraicas, trigonométricas o logarítmicas.

El análisis de las funciones (Expresiones Matemáticas) en el cálculo integral se consideran como funciones derivadas, las cuales; en la expresión de la integral reciben el nombre de integrando que debe contener una parte diferencial que permita obtener la función primitiva.

Para comprender lo expresado en el párrafo anterior se resume en la tabla siguiente:

No. Función Primitiva Función Derivada Función Integral Función Original

1 y=x y^'=1dx ∫▒dx y=x

2 y=x^2 y^'=2xdx ∫▒2xdx y=x^2

3 y=7x y^'=7dx ∫▒7dx y=7x

4 y=8x^3 y^'=24x^2 dx ∫▒〖24x^2 〗 dx y=8x^3

5 y=x^5 y^'=5x^4 dx ∫▒〖5x^4 dx〗 y=x^5

6 y= 〖7x〗^4 y^'=28x^3 dx ∫▒〖〖28x〗^3 dx〗 y=〖7x〗^4

7 y=〖3x〗^(-3) y^'=-9x^(-4) dx ∫▒〖-〖9x〗^(-4) 〗 y=〖3x〗^(-3)

8 y=〖2x〗^3/3 y^'=〖2x〗^2 dx ∫▒〖〖2x〗^2 dx〗 y=〖2x〗^3/3

Las expresiones Función Primitiva utilizadas en la tabla anterior, son monomios o expresiones algebraicas de un solo término algebraico; que para su derivación e integración se requiere de las fórmulas siguientes:

D(mx^n )=(m)(n)(x^(n-1) )

∫▒〖x^m dx= x^(m+1)/(m+1)〗

Considerando lo expuesto se establece que para el estudio del cálculo integral se requiere de un formulario que permita solucionar integrales de tal forma que se obtengan las funciones primitivas correspondientes, para este fin se tiene el formulario siguiente:

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

No. BÁSICAS No. BÁSICAS

1

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2

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3

20

4

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5

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6

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7

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8

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9

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33

17

Con solo el formulario de integrales, no se logra resolver los diferentes integrandos, por lo que se hace necesario contar con el formulario de Diferenciales, además de una tabla de identidades trigonométricas, conocimientos básicos de algebra, tales como: Simplificación de fracciones, factorización, productos y cocientes notables, principios de logaritmos, así como los principios de Exponenciación y Radicación.

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

No. ALGEBRAICAS DESCRIPCIÓN

01 D(C)=0 La derivada de una Constante es igual a cero

02 D(x)=1 La derivada de una variable simple respecto a si misma es igual a uno

03 D(cx)=c La derivada del producto de una constante por una variable simple es igual al valor de la constante

04 D(u+v-w)=D(u)+D(v)-D(w) La derivada de la suma de funciones se obtiene derivando cada función de manera independiente

05 D(mX^n )=m.n.X^(n-1) La derivada de un término algebraico se obtiene multiplicando el coeficiente y el exponente por la base con su exponente reducido en la unidad

06 D(u^n )= n.u^(n-1).D(u) La derivada de una función a la n-ésima se obtiene multiplicando el exponente de la función, la función con su exponente reducido en la unidad y la diferencial de la función

07 D(u.v)=u.D(v)+v.D(u) La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función más el producto de la segunda función por la derivada de la primera función

08 D(u/v)= (v.D(u)- u.D(v))/v^2 La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto de la función del dominador por la derivada de la función del numerador menos el producto de la función del numerador por la derivada de la función del denominador entre el cuadrado de la función del denominador

09 D(c/v)= (- c.D(v))/v^2 La derivada del cociente de una constante entre una función es igual al producto del valor negativo de la constante por la derivada de la función del denominador entre el cuadrado de la función del denominador

10 D(u/c)= D(u)/c La derivada del cociente de una función entre una constante es igual a la derivada de la función entre la constante

11 D(√u)= (D(u))/(2√u) La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada de la función entre el doble de la raíz cuadrada de la función

12 D(√(n&u))=(D(u))/(n.√(n&u^(n-1) )) La derivada de la raíz n-ésima de una función es igual a la derivada de la función entre el producto de la n-ésima por la raíz n-ésima de la función con su exponente reducido en la unidad

No. TRIGONOMÉTRICAS NATURALES No. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

01 D(Sen u)=Cos u du 01 D(〖Sen〗^(-1) u)= du/√(1-u^2 )

02 D(Cos u)= -Sen u du 02 D(〖Cos〗^(-1) u)= - du/√(1-u^2 )

03 D(Tan u)= 〖Sec〗^2 u du 03 D(〖Tan〗^(-1) u)= du/(1+u^2 )

04 D(Cot u)= - 〖Csc〗^2 u du 04 D(〖Cot〗^(-1) u)= - du/(1+u^2 )

05 D(Sec u)=Sec u Tan u du 05 D(〖Sec〗^(-1) u)= du/(u√(u^2+1))

06 D(Csc u)= -Csc u Cot u du 06 D(〖Sec〗^(-1) u)= - du/(u√(u^2+1))

07 D(Verso u)=Sen u du

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

No. LOGARITMICAS LOGARITMICAS

01 D(ln⁡〖 x)= dx/x〗 02 D(ln⁡〖 u)=du/u〗

03 D(〖log 〗⁡〖u)= log⁡〖e du〗/u〗 04 D(e^x )= e^x

05 D(a^u )= a^u ln⁡a du 06 D(e^u )= e^u du

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

RECÍPROCAS

01

02

03

04

05

06

PITAGÓRICAS

01 Sen2 x + Cos2 x = 1 02 Tan2 x + 1 = Sec2 x 03 1 + Cot2 x = Csc2 x

COCIENTES

01

02

PARA INVERSOS ADITIVOS

1 Sen ( - x ) = - Sen x 2 Cos ( - x ) = Cos x 3 Tan ( - x ) = - Tan x

DE COFUNCIONES

1

2

3

DE ADICIÓN DE SUSTRACCIÓN

01 Sen ( x + y ) = Sen x Cos y + Cos x Sen y 01 Sen ( x - y ) = Sen x Cos y - Cos x Sen y

02 Cos ( x + y ) = Cos x Cos y - Sen x Sen y 02 Cos ( x - y ) = Cos x Cos y + Sen x Sen y

03

03

DE ÁNGULO DOBLE DE ÁNGULO MITAD

01 Sen 2x = 2 Sen x Cos x 01

02 Cos 2x = Cos2 x – Sen2 x = 1 – 2 Sen2 x =2 Cos2 x – 1

03

02

NOTA: El signo será de acuerdo al cuadrante que pertenezca X / 2

CON FACTORES CON PRODUCTOS

01

01

02

02

03

03

04

04

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