Balance De Momento

Unidad I. Balance de cantidad de momento

Termodinámica: Forma de aprovechamiento energético de las sustancias, generación de nuevas formas de energía y transferencia de materia.

Es la rama de la química que se dedica al estudio macroscópico de los cambios de energía y la transformación de materia.

Es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden.

Existen tres variables termodinámicas que describen el estado de un sistema:

• Presión

• Volumen

• Temperatura

Para definir un sistema termodinámico se utiliza una superficie que separa el sistema de sus alrededores que se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia de energía, materia y/o cantidad de movimiento.

Existen tres clases de sistema:

Aislado.- no hay intercambio de energía ni materia con el entorno

Cerrado.- hay intercambio de energía con su exterior pero no de materia.

Abierto.- hay intercambio de energía y también de materia con el entorno.

Los sistemas pueden ser Homogéneos o heterogéneos, si es un sistema homogéneo se involucran fenómenos como el desplazamiento o flujo de masa, energía, o cantidad de movimiento y se denomina fenómeno de transporte.

Volumen de control: está relacionado con el sistema abierto y es una región constante en el espacio a través de la cual fluye el fluido.

Es un volumen arbitrario en el que estamos habiendo nuestro estudio, aplicando el balance de energía. El volumen de control puede moverse, aumentar, disminuir, deformarse, etc, pues lo definimos como nos conviene.

La superficie de control que se representa como una línea punteada, es la superficie que rodea al volumen de control.

Teorema del valor medio.

Si una función es definida y continua [a,b] diferenciable en el intervalo abierto (a,b) y toma valores iguales en los extremos del intervalo f(a)=f(b) entonces existe al menos algún punto C en el intervalo (a,b) tal que la tangente a la curva en C es horizontal es decir, f’(c)=0.

Teorema de valor medio para integrales.

Si f es continua en [a,b], entonces existe un número C entre a y b, tal que

Teorema del valor medio para derivadas.

El teorema del valor medio para derivadas dice que existe algún punto C en el intervalo [a,b] en el que la tasa promedio de cambio de f, (f(b)-f(a)/(b-a), es igual a la tasa instantánea de cambio f’(c).

Coordenadas rectangulares:

X= r cosƟ

Y= r sen Ɵ

Z=z

Coordenadas cilíndricas:

r2 = x2 + y2

tgƟ = y/x

z=z

Las propiedades fundamentales que se pueden transportar son tres:

• Cantidad de momento, movimiento o momentum

• Cantidad de energía

• Cantidad de materia

Este trasporte puede ocurrir en el seno de fluidos o entre un fluido y un sólido por ejemplo:

1. Un fluido que circula a través de un conducto disipa energía por rozamiento lo que se traduce en un transporte de cantidad de movimiento entre las regiones con distintas velocidades.

2. Un sistema con regiones a distintas temperaturas (diferentes concentraciones de energía). Transporta energía de la región más caliente a la más fría.

3. Una mezcla de dos o más componentes con regiones con diferentes concentraciones transporta materia desde la zona más concentrada hacia la menos concentrada.

Su importancia y relación con otras ciencias:

• Biotecnología:

o Proyectar la mejora en el desempeño de los sistemas de agitadores en bioreactores.

o Diseñar correctamente sistemas de esterilización y pausterización

o Estimar tamaños de bioreactores.

• Tecnología de alimentos:

o Estimar tiempos de cocción

o Estimar tamaños de lechos de secado de legumbres

o Estudiar procesos de congelación y descongelación

• Medio ambiente:

o Predecir contaminaciones estudiando las corrientes atmosféricas

o Diseñar equipos que permitan la purificación de distintas corrientes de fluido

Clasificación de los fluidos

Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta.

También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

• No Newtonianos: son aquellos cuya viscosidad varía con la tensión cortante que se le aplica. Este tipo de fluido no tiene un valor de viscosidad definido y constante, a diferencia de un fluido newtoniano. Por ejemplo, suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímetros de cadena larga, fluidos biológicos, alimentos líquidos, pinturas, suspensiones de arcillas, etc.

• Newtonianos: Es un fluido con viscosidad en que las tensiones tangenciales de rozamiento son directamente proporcionales al gradiente de velocidades. Por ejemplo, gases y fluidos de moléculas sencillas, el aire, el agua, la gasolina y algunos aceites minerales.

Perfil de velocidad en estado estacionario entre dos laminas.

Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar un fuerza cortante F para conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene dada por la expresión:

El régimen de flujo esta dado por el número de Reynolds, el cual es adimensional.

Ec. general de balance de cantidad de movimiento

Entrada-Salida + Generación-Consumo=Acumulación (>0 , =0 , <0)

Pasos a realizar para el balance:

1. Se selecciona una envoltura delgada del fluido que tenga la misma geometría que el objeto sobre el cual se hace el balance.

2. Se define la ecuación para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

3. Las fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúan sobre el volumen)

Transferencia de cantidad de movimiento.

El movimiento se transfiere de dos maneras

1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido.

2. Cinético: es un transferencia paralela al movimiento del fluido.

Procedimiento para la resolución de un problema:

1. Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito.

2. Se hace tender el espesor a cero utilizando la definición matemática de la primera derivada con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

3. Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad.

4. Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema.

5. Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones limites del sistema.

Aplicando la ecuación de balance:

Por estado estacionario A = 0 v = constante por lo tanto la velocidad es cero, por lo que

Multiplicando la ecuación por -1 y dividiendo entre WL_x y aplicando limite cuando _x

tiende a cero, obtenemos:

Tomando en cuenta las condiciones de frontera: τxz = 0 cuando x = 0 y resolviendo la ecuación obtenemos que la constante C1 es cero. Por lo tanto el perfil de área del fluido es:

Condiciones de frontera.

Para fluidos en movimiento se considera dos puntos importantes:

1. En la interface sólido-líquido (paredes) la capa del fluido pegada al as paredes no se mueve, sin embargo, adquiere la velocidad con la que se desplaza la pared

τ=τmax En el centro del perfil: la velocidad en este punto es máxima, por lo que el esfuerzo de corte es cero (τ=0)

Ecuaciones de variación

Ecuación de continuidad

Esta ecuación es otra manera de expresar la ley de conservación de la materia y se deduce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen x, y, z; a través del que está circulando el fluido.

Ley de Fourier

La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. Establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección. Para un flujo unidimensional de calor se tiene:

Donde:

es la tasa de flujo de calor que atraviesa el área A en la dirección x

(o ) es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica

es la temperatura.

el tiempo.

Para un flujo tridimensional en un medio

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