Banco Falabella
Enviado por • 4 de Julio de 2014 • 3.281 Palabras (14 Páginas) • 725 Visitas
GUÍA DE REPASO EXAMEN DE CÁLCULO I
Andrea decide ahorrar mensualmente durante todo el año 2014 para sus próximas vacaciones, para ello vuelve a utilizar una cuenta bancaria que sus padres le abrieron años atrás, donde el ahorro A total en pesos que tiene cada mes m está dado por la función A(m)=10.000m+20.000
Esboce la gráfica de la función. Coloque el nombre a los ejes.
Encuentre e interprete la intersección eje y.
En la gráfica anterior marque (destaque) la porción de gráfica que corresponde al dominio empírico de A(m). (Escriba coordenada inicial y final)
Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota, desde el instante en que se patea, es la parábola correspondiente a la función f(x)=-5/100 x^2+0,7x , donde f es la altura en metros cuando esta se encuentra a x metros de distancia horizontal del punto en que fue lanzada.
Esboce la gráfica de la función (intersección con los ejes, vértice, nombre a los ejes)
Escriba en dominio empírico de la función
Marque (destaque) la porción de gráfica que corresponde al dominio empírico de la función (Escriba coordenada inicial y final)
Determine e Interprete el intervalo crecimiento
Se sabe que la población de ranas R en una región determinada, depende de la población de insectos dada por la función R(i)=65+√(i/8) ; con R en miles de ranas. La población de Insectos a su vez depende de la cantidad de lluvia (en centímetros cúbicos) y se puede obtener a partir de la función i(c)=43c+7,5
Determine e Interprete R(c)
¿Cuál es la población de ranas cuando la cantidad de lluvia es de 30 cm3 ?
De acuerdo a estimaciones que ha realizado la Organización de las Naciones Unidas (ONU) se puede estimar la población humana mundial en millones de habitantes con la función P(t)=836,87e^0,0098t , donde t son los años transcurridos a partir de 1.800.
¿Cuál es la población estimada para este año (2014)?
Determine e Interprete dP/dt en el año 2015
Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el suelo. Después de trascurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada por la función D(t)=216t-18t^2.
¿Cuál es la rapidez instantánea del proyectil a los 4 segundos de ser disparado?
¿Cuál es su aceleración instantánea 4 segundos de ser disparado?
En una página web se publica la oferta de un nuevo producto. La cantidad de personas que ingresa a la página a ver esta oferta, varía según la función f(x)=x^3-18x^2+81x+50 donde f es el número de personas conectadas después de x horas que el aviso es publicado. Si la promoción se mantiene en línea por sólo 10 horas, responda:
Escriba dominio empírico de la función
Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, considerando dominio empírico.
¿Después de cuántas horas, la cantidad de personas conectadas a la página es máxima? ¿Y la mínima? (indique cantidad de personas)
Un fabricante estima que el ingreso marginal es
IM(x)=0.9x^2-20.5x+90 euros por unidad cuando se producen x productos.
Si el ingreso al vender 15 productos es de 56,25 determine I(x)
¿cuál es el ingreso al vender 14 productos?
Se ha determinado que dentro de t años la población de una cierta ciudad cambiará a razón de dP/dt=8+5x^(1/2) personas por año. Si la población actual es de 12.000. ¿Cuál será la población dentro de ocho años?
Encuentre los límites de integración, luego determine el área de la región acotada por las siguientes funciones.
a)
b)
La función de oferta para calculadoras científicas, está dada por O(x)=0,2x^2+0,4x+60 pesos por unidad. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 50 calculadoras científicas.
La función demanda para x refrigeradores es D(x)=5000+10x-0,06x^2 dólares. Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 45 unidades
La temperatura en el aeropuerto local de una ciudad, indica que t horas después de medianoche, fue de f(t)=-1,2t^2+10t+0,4 grados Celsius. ¿Cuál fue la temperatura promedio en el aeropuerto entre las 4:00 a.m. y las6:00 a.m.?
SOLUCIONES GUÍA RESUMEN EXAMEN CÁLCULO I
Ejercicio 1
m=0 A(0) =20.000 .
Interpretación: “El ahorro se inicia con $20.000 en la cuenta”
Ejercicio N°2:
a)
b) Dominio [0,14]
b)
c)
Intevalo de crecimiento ├]0,7┤[
Entre los cero y siete metros de distancia horizontal desde que fue lanzado el tiro libre, la altura alcanzada por la pelota va en ascenso.
d)
La altura máxima que alcanza la pelota es de 2,45 metros y ocurre a los 7 metros de distancia horizontal en que fue pateada.
Ejercicio N°3:
a) La población de ranas en miles dependen de la cantidad de lluvia caída en cm3, y se modela mediante la siguiente función
R(c)=65+√((43c+7,5)/8)
b)
R(30)=65+√((43∙30+7,5)/8)≈77,735
La población de ranas cuando caen 30 cm3 de lluvia se estima en 77.735
Ejercicio N°4:
a)
2014-1800=214
P(214)=836,87e^(0,0098∙214)=6.814,914116
Respuesta: Para el año 2014 se estima una población de 6.814.914.116
b)
dP/dT=8,201326e^0,0098t 2015-1800=215
P´(215)=8,201326e^(0,0098∙215)=67,44383092
Respuesta: La tasa de crecimiento en el año 2015 se estima en 67.443.831 habitantes por año.
Ejercicio N°5:
a)D´(t)=216-36t D´(4)=72
Respuesta: La rapidez instantánea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de 72 metros por segundos
b)D´´(t)=-36 D´(4)=-36
Respuesta: La aceleración instantánea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de -36 metros por 〖segundos〗^2
Ejercicio N°6:
a)
[0,10]
b)
- 0 +
f´(x)=〖3x〗^2-36x+81
〖3x〗^2-36x+81=0
x_1=9 y x_2=3
Intervalo de decrecimiento ├]3,9┤[
Intervalo de decrecimiento ├]0,3┤[ ,├]9,10┤[
c)
f(0) f(3) f(9) f(10)
50 158 50 60
Respuesta:
A las 3 horas se observara la mayor cantidad de persoans contentadas correpondente a 158 personas.
Iniciada la oferta y a la 9na hora se observa la menor cantidad de persoans conectadas, correspondente a 50.
Ejercicio Nº7
a)
∫▒IM(x)dx=0,3x^3-10,25x^2+90x+C=I(x)
I(15)=56,25
56,25=0,3〖∙15〗^3-10,25〖∙15〗^2+90∙15+C c=0
I(x)=0,3x^3-10,25x^2+90x función ingreso
b)
I(14)=74,2
Respuesta: En ingreso al vender 14 artículos será de 74,2 euros
Ejercicio Nº8
∫▒〖dP/dt dt〗=10/3 x^(3/2)+8x+C=P(x)
P(0)=1200
1200=10/3∙0^(3/2)+8∙0+C c=1200
P(x)=10/3 x^(3/2)+8x+1200 función cantidad de Habitantes
P(8)=1339,424728
Respuesta: La población dentro de 8 años será de 1339 habitantes aproximadamente
Ejercicio Nº9
a)
Paso Nº1: Encontrar puntos de integración
g(x)=f(x)
7x=7x^3-21x^2+21x
0=7x^3-21x^2+14x
0=x(7x^2-21x+14)
x_1=0 7x^2-21x+14=0
x_2=1 x_2=2
Paso Nº2: Restar funciones
f(x)-g(x)=7x^3-21x^2+21x-(7x)=7x^3-21x^2+14x
Paso Nº3: Integrar
∫_0^1▒〖(7x^3-21x^2+14x)dx+〗 ∫_1^2▒〖(7x^3-21x^2+14x)dx=1,75+1,75=3,5〗
Paso Nº4: Redactar respuesta
El área entre las funciones f y g corresponde a 3,5 u2
b)
Paso Nº1: Encontrar puntos de integración
g(x)=f(x)
x+4=-x^3+6x^2-7x+4
0=-x^3+6x^2-8x
0=x(-x^2+6x-8)
x_1=0 -x^2+6x-8=0
x_2=2 x_2=4
Paso Nº2: Restar funciones
f(x)-g(x)=-x^3+6x^2-7x+4-(x+4)=-x^3+6x^2-8x
Paso Nº3: Integrar
∫_0^2▒〖(-x^3+6x^2-8x)dx+〗 ∫_2^4▒〖(-x^3+6x^2-8x)dx=4+4=8〗
Paso Nº4: Redactar respuesta
El área entre las funciones f y g corresponde a 8 u2
EJERCICIO Nº10
EP=y_0∙x_0-∫_0^(x_0)▒O(x)dx
y_0=0(50)=580 〖x_0∙y〗_0=50∙580=29.000
∫▒〖0(x)dx=〗 1/15 x^3+0,2x^2+60x+c ∫_0^50▒〖D(x)dx=11.833,3333〗
EP= 29.000- 11.833,3333=17.166,6666
El excedente de productor es $17.167
EJERCICIO Nº11
EC=∫_0^(x_0)▒〖D(x)dx-y_0∙x_0 〗
y_0=D(45)=5328,5 〖x_0∙y〗_0=45∙5328,5=239782,5
∫▒〖D(x)dx=〗 5000x+5x^2-0,02x^3+c ∫_0^45▒〖D(x)dx=233302,5〗
EC= 239782,5- 233302,5=6480
El excedente del consumidor es $6480
EJERCICI0 Nº12
VP(f(x))=1/(b-a)∙∫_a^b▒f(x)dx
1/(6-4)=1/2
∫▒〖f(t)dt=-〗 2/5 t^3+5t^2+0,4t ∫_4^6▒〖f(t)dt=96-56=40〗
VP= 1/2∙40=20
GUÍA DE REPASO EXAMEN DE CÁLCULO I
Andrea decide ahorrar mensualmente durante todo el año 2014 para sus próximas vacaciones, para ello vuelve a utilizar una cuenta bancaria que sus padres le abrieron años atrás, donde el ahorro A total en pesos que tiene cada mes m está dado por la función A(m)=10.000m+20.000
Esboce la gráfica de la función. Coloque el nombre a los ejes.
Encuentre e interprete la intersección eje y.
En la gráfica anterior marque (destaque) la porción de gráfica que corresponde al dominio empírico de A(m). (Escriba coordenada inicial y final)
Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota, desde el instante en que se patea, es la parábola correspondiente a la función f(x)=-5/100 x^2+0,7x , donde f es la altura en metros cuando esta se encuentra a x metros de distancia horizontal del punto en que fue lanzada.
Esboce la gráfica de la función (intersección con los ejes, vértice, nombre a los ejes)
Escriba en dominio empírico de la función
Marque (destaque) la porción de gráfica que corresponde al dominio empírico de la función (Escriba coordenada inicial y final)
Determine e Interprete el intervalo crecimiento
Se sabe que la población de ranas R en una región determinada, depende de la población de insectos dada por la función R(i)=65+√(i/8) ; con R en miles de ranas. La población de Insectos a su vez depende de la cantidad de lluvia (en centímetros cúbicos) y se puede obtener a partir de la función i(c)=43c+7,5
Determine e Interprete R(c)
¿Cuál es la población de ranas cuando la cantidad de lluvia es de 30 cm3 ?
De acuerdo a estimaciones que ha realizado la Organización de las Naciones Unidas (ONU) se puede estimar la población humana mundial en millones de habitantes con la función P(t)=836,87e^0,0098t , donde t son los años transcurridos a partir de 1.800.
¿Cuál es la población estimada para este año (2014)?
Determine e Interprete dP/dt en el año 2015
Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el suelo. Después de trascurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada por la función D(t)=216t-18t^2.
¿Cuál es la rapidez instantánea del proyectil a los 4 segundos de ser disparado?
¿Cuál es su aceleración instantánea 4 segundos de ser disparado?
En una página web se publica la oferta de un nuevo producto. La cantidad de personas que ingresa a la página a ver esta oferta, varía según la función f(x)=x^3-18x^2+81x+50 donde f es el número de personas conectadas después de x horas que el aviso es publicado. Si la promoción se mantiene en línea por sólo 10 horas, responda:
Escriba dominio empírico de la función
Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, considerando dominio empírico.
¿Después de cuántas horas, la cantidad de personas conectadas a la página es máxima? ¿Y la mínima? (indique cantidad de personas)
Un fabricante estima que el ingreso marginal es
IM(x)=0.9x^2-20.5x+90 euros por unidad cuando se producen x productos.
Si el ingreso al vender 15 productos es de 56,25 determine I(x)
¿cuál es el ingreso al vender 14 productos?
Se ha determinado que dentro de t años la población de una cierta ciudad cambiará a razón de dP/dt=8+5x^(1/2) personas por año. Si la población actual es de 12.000. ¿Cuál será la población dentro de ocho años?
Encuentre los límites de integración, luego determine el área de la región acotada por las siguientes funciones.
a)
b)
La función de oferta para calculadoras científicas, está dada por O(x)=0,2x^2+0,4x+60 pesos por unidad. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 50 calculadoras científicas.
La función demanda para x refrigeradores es D(x)=5000+10x-0,06x^2 dólares. Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 45 unidades
La temperatura en el aeropuerto local de una ciudad, indica que t horas después de medianoche, fue de f(t)=-1,2t^2+10t+0,4 grados Celsius. ¿Cuál fue la temperatura promedio en el aeropuerto entre las 4:00 a.m. y las6:00 a.m.?
SOLUCIONES GUÍA RESUMEN EXAMEN CÁLCULO I
Ejercicio 1
m=0 A(0) =20.000 .
Interpretación: “El ahorro se inicia con $20.000 en la cuenta”
Ejercicio N°2:
a)
b) Dominio [0,14]
b)
c)
Intevalo de crecimiento ├]0,7┤[
Entre los cero y siete metros de distancia horizontal desde que fue lanzado el tiro libre, la altura alcanzada por la pelota va en ascenso.
d)
La altura máxima que alcanza la pelota es de 2,45 metros y ocurre a los 7 metros de distancia horizontal en que fue pateada.
Ejercicio N°3:
a) La población de ranas en miles dependen de la cantidad de lluvia caída en cm3, y se modela mediante la siguiente función
R(c)=65+√((43c+7,5)/8)
b)
R(30)=65+√((43∙30+7,5)/8)≈77,735
La población de ranas cuando caen 30 cm3 de lluvia se estima en 77.735
Ejercicio N°4:
a)
2014-1800=214
P(214)=836,87e^(0,0098∙214)=6.814,914116
Respuesta: Para el año 2014 se estima una población de 6.814.914.116
b)
dP/dT=8,201326e^0,0098t 2015-1800=215
P´(215)=8,201326e^(0,0098∙215)=67,44383092
Respuesta: La tasa de crecimiento en el año 2015 se estima en 67.443.831 habitantes por año.
Ejercicio N°5:
a)D´(t)=216-36t D´(4)=72
Respuesta: La rapidez instantánea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de 72 metros por segundos
b)D´´(t)=-36 D´(4)=-36
Respuesta: La aceleración instantánea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de -36 metros por 〖segundos〗^2
Ejercicio N°6:
a)
[0,10]
b)
- 0 +
f´(x)=〖3x〗^2-36x+81
〖3x〗^2-36x+81=0
x_1=9 y x_2=3
Intervalo de decrecimiento ├]3,9┤[
Intervalo de decrecimiento ├]0,3┤[ ,├]9,10┤[
c)
f(0) f(3) f(9) f(10)
50 158 50 60
Respuesta:
A las 3 horas se observara la mayor cantidad de persoans contentadas correpondente a 158 personas.
Iniciada la oferta y a la 9na hora se observa la menor cantidad de persoans conectadas, correspondente a 50.
Ejercicio Nº7
a)
∫▒IM(x)dx=0,3x^3-10,25x^2+90x+C=I(x)
I(15)=56,25
56,25=0,3〖∙15〗^3-10,25〖∙15〗^2+90∙15+C c=0
I(x)=0,3x^3-10,25x^2+90x función ingreso
b)
I(14)=74,2
Respuesta: En ingreso al vender 14 artículos será de 74,2 euros
Ejercicio Nº8
∫▒〖dP/dt dt〗=10/3 x^(3/2)+8x+C=P(x)
P(0)=1200
1200=10/3∙0^(3/2)+8∙0+C c=1200
P(x)=10/3 x^(3/2)+8x+1200 función cantidad de Habitantes
P(8)=1339,424728
Respuesta: La población dentro de 8 años será de 1339 habitantes aproximadamente
Ejercicio Nº9
a)
Paso Nº1: Encontrar puntos de integración
g(x)=f(x)
7x=7x^3-21x^2+21x
0=7x^3-21x^2+14x
0=x(7x^2-21x+14)
x_1=0 7x^2-21x+14=0
x_2=1 x_2=2
Paso Nº2: Restar funciones
f(x)-g(x)=7x^3-21x^2+21x-(7x)=7x^3-21x^2+14x
Paso Nº3: Integrar
∫_0^1▒〖(7x^3-21x^2+14x)dx+〗 ∫_1^2▒〖(7x^3-21x^2+14x)dx=1,75+1,75=3,5〗
Paso Nº4: Redactar respuesta
El área entre las funciones f y g corresponde a 3,5 u2
b)
Paso Nº1: Encontrar puntos de integración
g(x)=f(x)
x+4=-x^3+6x^2-7x+4
0=-x^3+6x^2-8x
0=x(-x^2+6x-8)
x_1=0 -x^2+6x-8=0
x_2=2 x_2=4
Paso Nº2: Restar funciones
f(x)-g(x)=-x^3+6x^2-7x+4-(x+4)=-x^3+6x^2-8x
Paso Nº3: Integrar
∫_0^2▒〖(-x^3+6x^2-8x)dx+〗 ∫_2^4▒〖(-x^3+6x^2-8x)dx=4+4=8〗
Paso Nº4: Redactar respuesta
El área entre las funciones f y g corresponde a 8 u2
EJERCICIO Nº10
EP=y_0∙x_0-∫_0^(x_0)▒O(x)dx
y_0=0(50)=580 〖x_0∙y〗_0=50∙580=29.000
∫▒〖0(x)dx=〗 1/15 x^3+0,2x^2+60x+c ∫_0^50▒〖D(x)dx=11.833,3333〗
EP= 29.000- 11.833,3333=17.166,6666
El excedente de productor es $17.167
EJERCICIO Nº11
EC=∫_0^(x_0)▒〖D(x)dx-y_0∙x_0 〗
y_0=D(45)=5328,5 〖x_0∙y〗_0=45∙5328,5=239782,5
∫▒〖D(x)dx=〗 5000x+5x^2-0,02x^3+c ∫_0^45▒〖D(x)dx=233302,5〗
EC= 239782,5- 233302,5=6480
El excedente del consumidor es $6480
EJERCICI0 Nº12
VP(f(x))=1/(b-a)∙∫_a^b▒f(x)dx
1/(6-4)=1/2
∫▒〖f(t)dt=-〗 2/5 t^3+5t^2+0,4t ∫_4^6▒〖f(t)dt=96-56=40〗
VP= 1/2∙40=20
la temperatura promedio entre las 4 y 6 de la mañana promedio es de 20 ºC
la temperatura promedio entre las 4 y 6 de la mañana promedio es de 20 ºC
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