CONCEPTOS PREVIOS

I. CONCEPTOS PREVIOS

1) PAR ORDENADO

Conjunto de dos elementos, en donde el orden en que estén ubicados (los elementos) indica una característica de los mismos.

(a ; b )

1° componente 2° componente

(abscisa) (ordenada)

Luego : Si (a; b) = (m ; n)

Entonces : a =m  b =n

2) PRODUCTO CARTESIANO

Es un conjunto que genera pares ordenados.

Si A y B son conjuntos no vacíos.

A x B = {(a.b) / a  A  b  B}

Ejemplo :

Si: A = {1, 2, 3}  B = {7, 8}

A x B = {(1; 7), (1; 8) , (2; 8), (2; 8), (3; 7) , (3, 8)}

B x A = {(7; 1) , (7; 2), (7; 3), (8; 1), (8; 2), (8; 3)}

Luego A x B  B x A

3) PLANO CARTESIANO

Es aquél donde se ubican los puntos generados por los pares ordenados.

II. FUNCIÓN

1) DEFINICIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x  A un único elemento , y  B.

Notación : f: A  B v A  B

Se lee f es función de A en B.

Ejemplo :

F = {(2;3), (4; 7), (8; 9), (5 ; 0)} Función

G = {(3; 8), (5; 1), (3;2), (7; -3) } relación

No es función

I = {(1; 6), (3; 2), (4; 5), (1; 6)} Función

es la misma

Nota :

Si (a; b)  F entonces F(a) = b

“b”Es la imagen de ”a” en F.

Ejemplo :

F = {(4; 0) , (6; -1), (8; 2)}

F(4) = 0 ; F(6) = -1 ; F(8) = 2

Regla de Correspondencia : y = F(x)

Variable Variable

dependiente independiente

Ejemplo : y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3)=9 F(5) =13 F(0) = 3

F= {(1; 5) , (3; 9), (5; 13) (0; 3)}

Del proceso anterior podemos decir que una relación algebraica entre la abscisa (x) y la ordenada (y) genera pares ordenados.

Teorema.- Si f es una función de R en R  toda recta paralela al eje “y” corta la grafica a los más en un punto.

2) DOMINIO

Es el conjunto de valores que puede tomar la 1ra componente (abscisa) considerando las restricciones.

3) RANGO

Es el conjunto de valores que asume la 2da componente (ordenada) de acuerdo al dominio.

Ejemplo:

F: {(2; 5), (3; 7), (8;4), (0; 4)}

Dom. F = (2; 3 ; 8;0}

Ran. F = (5; 7 ; 4}

4) FUNCIONES ESPECIALES :

4.1. Función Constante:

Regla de correspondencia

f(x) = C

Df = R ; Rf={C}

4.2. Función Identidad

Regla de correspondencia:

f(x) = x

Df=R ; Rf=R

4.3. Función Valor Absoluto :

Regla de correspondencia :

x; si x  0

f(x) = |x| =

-x; si x < 0

Df = R ; Rf = R0+

4.4. Función lineal :

4.5.

Regla de correspondencia:

f(x) = ax + b ; a  0

Df = R ; Rf=R

4.6. Función cuadrática :

Regla de correspondencia :

f(x) = x2

Df=R ; Rf = R+0

4.7. Función raíz cuadrada:

Regla de correspondencia :

f(x) =

Df = R+0 ; Rf=R+0

5) OPERACIONES CON FUNCIONES

Si :

F = {(x, y) / y =f(x)}

G = {(x, y) / y = g(x)}

5.1. Adición:

F+G ={(x, y)/ y= f(x) + g(x), x  Df Dg }

5.2. Sustracción :

F–G = {(x, y) / y = f(x)–g(x) , x  Df  Dg }

5.3. Producto :

F.G = {(x, y) / y = f(x) . g(x) , x  Df  Dg}

5.4. Composición :

F o G = F(G(x))

Donde :

DF o G = {x/x  Dg  g(x)  Df}

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Halla el dominio de la función:

f(x) =

Solución :

f(x) es real por tanto :

x – 1  0  6 – x  0

x  1  x  6

 1  x  6

 [1; 6]

2) Cuál es el dominio de la función :

f(x) =

Solución :

f(x) es real

x2 – 10x + 9  0

(x – 1) (x – 9)  0

 x < - ;1 ] U [ 9; + >

ó x  R - <1; 9>

3) Halla una ecuación lineal F(x) tal que :

F(2) = 3

F(3) = 2F(4)

Solución :

La función es : F(x) = ax + b

Luego :

F(2) = 2 a + b = 3

F(3) = 2F(4)

3a + b = 2(4a + b)

3a + b = 8a + 2b

 5a + b = 0 -

2a + b = 3

3a = -3

a=-1

 5(-1) + b = 0

 b = 5

4) Si :

F ={(1;2);(3; m-2);(1;n+1); (4; 6)

(3; 6-m); (6; 2) }

Es una función :

Halla : E = mn + nm

Solución :

(1; 2) = (1; n + 1)

 n + 1 = 2  n =1

(3; m-2) =(3; 6-m)

 m – 2 = 6-m

m = 4

 E = 41 + 14 = 5

5) ¿Cuál es el rango de la función:?

F ={(1;3),(2; 5),(1;a-1),(2; b+2),

...