CRITERIOS DE DIVSIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

En matemáticas, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a • c. Esto es equivalente a decir que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3•2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4•c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Factor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente a n . Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Propiedades

Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

 (Propiedad Reflexiva).

 Si y , entonces (Propiedad Transitiva).

 Si , entonces .

 Si y , entonces .

 Si y , entonces

 Si y , entonces .

 Si y , entonces .

 Para , si y sólo si

 Si y , entonces .

 Si y cumple que y , entonces .

Como y se tiene que y para todo entero. Si no es divisible por escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número Criterio Ejemplo

2

El número termina en cero o cifra par (el cero se considera par). 378: porque la última cifra (8) es par.

3

La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.

4

El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.

5

La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.

6

El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.

7

Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. 34349: separamos el 9 (3434'9)y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.

8

El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.

9

La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo

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