Calculo Diferencial

2.8 Funciones Inversas, Funciones Logarítmicas, Funciones Trigonométricas Inversas

Cualquier función que deshaga una función es llamada función inversa en matemáticas.

A la luz de la declaración anterior se puede concluir que para la función f: X → Y si utilizamos una entrada x para producir y como salida.

La función inversa g: Y → X produciría a x como salida mientras que y sería la cantidad de entrada.

Una función invertible es aquella que tiene una función inversa propia.

El inverso de tal función f es denotado por f−1 y es determinado de forma única.

Para una función dada f: X → Y, su inverso se representa como,

Aquí se puede decir que tanto f(x) como f−1 (x) son reflejos una de la otra sobre la recta x=y.

Cada función que posee una inversa debe satisfacer la condición que establece que para cada elemento en el dominio de la función existe un único elemento para el cual ningún otro elemento en el dominio de la función puede corresponder.

Por tanto es posible decir que cada elemento en el rango y en el dominio de la función está apareado en una asociación única.

Cada elemento del rango de la función está asociado con un único elemento del dominio de la función y cada elemento del dominio de la función está asociado con un único elemento del rango de la función.

Encontrar la inversa de una función es muy sencillo. Tomemos como ejemplo,

f(x) = 2x + 3

Convierta la ecuación anterior a la forma de variable de x e y.

y = 2x + 3

y – 3 = 2x

y – 3/ 2 = x

Para encontrar el inverso de la ecuación anterior, simplemente intercambie las variables x e y en sus respectivos lugares,

x – 3/ 2 = y sería la inversa de la función de entrada.

Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma,

Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno.

Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero.

Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial.

También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado.

Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron a problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Observe el ejemplo siguiente,

x = 10y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener,

y = 10x

Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas.

Por tanto la ecuación se convertirá en,

La cual puede ser

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