Calculo Diferencial

COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:

Identificar y graficar los números reales en la recta numérica.

Comprender e identificar intervalos abiertos y cerrados mediante desigualdades.

Comprender el concepto de valor absoluto e identificar sus propiedades.

Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real.

TEMARIO:

UNIDAD: 1 NÚMEROS REALES.

Los números reales y su clasificación.

Representación gráfica de los números reales.

Propiedades de los números reales (Tricotomía, transitividad, Densidad, Axioma del supremo).

Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

Valor absoluto y sus propiedades.

Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto.

INTRODUCCIÓN:

El Cálculo Diferencial surge como parte del Cálculo infinitesimal, el cual tuvo este nombre para dar la designación conjunta a los temas del Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y el Cálculo de variaciones, llamado así por las magnitudes infinitamente pequeñas que se utilizaban en su estudio y que actualmente les denominamos límites.

El Cálculo Diferencial fue creado a finales del siglo XVII (1665 aproximadamente) por Sir Isaac Newton y por Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton, es uno de los más famosos contribuyentes del desarrollo del cálculo el cual lo aplicó en la Física a través de sus Leyes de Movimiento y Gravitación; por otra parte, Leibniz, fue un inventor independiente y gran desarrollador del cálculo, la simbología descubierta por este fue manejable y apuntalo el progreso del cálculo en Europa.

El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de la matemática moderna, es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio y es normal en el contexto matemático, por simplificación, simplemente llamarlo cálculo. El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, constituye una gran parte de la educación de ingeniería las Instituciones de educación superior. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente, este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.

El Cálculo Diferencial es el estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función, o lo que es lo mismo, la pendiente de la tangente a lo largo de su gráfica. El proceso de encontrar la derivada se le llama derivación. El concepto de derivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en el álgebra.

LOS NÚMEROS REALES Y SU CLASIFICACIÓN.

Actualmente es muy familiar los conceptos de números y de conjunto, estos fueron elaborados lentamente a través del tiempo por diversas civilizaciones, como las cuatro más grandes del mundo occidental antiguo Babilonia, Egipto, Grecia y Roma. Antes de surgir los números para representar cantidades, el ser humano utilizó otros métodos para contar, por ejemplo uso objetos como piedras, palos de madera, nudos de cuerda o simplemente los dedos, siendo los diez dedos de las manos los que le enseñan a contar y así extender indefinidamente el alcance del número.

Los pueblos antiguos para contar grandes cantidades de objetos o mercancías, recurrían a la formación de conjuntos, es decir, dividían el total en partes iguales, a fin de facilitar su cuenta; de la misma manera, procede el comerciante actual para contar las mercancías que expende, como son, docenas de artículos, cajas, rollos o paquetes de materiales, entre otros, o bien otras ideas generales como son grupos de cultivo, grupos de medicamentos, productos de canasta básica, por citar algunos ejemplos.

Los números complejos (C), denominados así por Johann Carl Friedrich Gauss en 1799, se conforman por la unión de los números reales (R) y los números imaginarios (I) puros, denominados por Leonard Paul Euler en 1777 cuando dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario); aunque su aceptación como tal tardo bastante tiempo, constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los números reales; todo número complejo z=a+bi se representa como la suma de un número real (a) y un número imaginario (i), donde Re z=a, e Im z=b.

Números Complejos [C]{■(Números Reales [R] @0@Números imaginarios [I] )┤

Los NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS, es el conjunto de números que se obtienen de extraer la raíz cuadrada a los números negativos, ejemplos de estos son:

√(-4)=2i=2j √(-9)=3i=3j √(-16)=4i=4j

Los NÚMEROS REALES Se denotan por la letra R, y corresponde a la unión de los conjunto Q∪Q'. Representan el conjunto de todos los números utilizados en cálculos matemáticos, sin incluir las raíces de números negativos, se clasifican en:

Números Racionales (Q).

Números Irracionales (Q’).

La siguiente figura muestra en Diagrama de Venn los números Reales y sus subconjuntos.

N ⊂ Z ⊂Q ⊂R

Los NÚMEROS NATURALES son los primeros que surgen en las diferentes culturas, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el análisis de las cantidades, el primer número natural es el uno. Como este conjunto de números no eran suficientes para el conteo y representación de cantidades, temperaturas sobre y bajo cero, movimientos de capital a favor o en contra, entre otros casos, se formó otro conjunto, el de los NÚMEROS ENTEROS, y así más necesidades fueron llevando al ser humano a encontrar la existencia de otros conjuntos de números.

Los NÚMEROS RACIONALES (Q), son aquéllos que se expresan como el cociente de dos números enteros a/b, ∀ b≠0; comúnmente se les denomina fracción o quebrado, incluyen a los subconjuntos de:

Números naturales (N), son los que se utilizan para contar (1, 2, 3, 4, 5, …).

Números enteros (Z), están formados por los enteros positivos (números naturales), el cero y los enteros negativos (naturales negativos).

Ejemplos: -2; -1; 0; 1; 2

Los NÚMEROS IRRACIONALES (Q’), son números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, a/b para toda b≠0, son fracciones que contienen decimales infinitas no periódicas, también lo son los números que se generan de la raíz cuadrada de un número primo positivo.

Ejemplos:

π=3.1415926… e=2.718281… √2=1.4142135…

Durante el curso, en raras ocasiones usaremos números complejos, en realidad, cuando se diga “número” sin algún adjetivo calificativo, nos estaremos refiriendo a los números reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES.

Los números reales pueden ser representados mediante puntos de una línea recta denominada RECTA NUMÉRICA REAL, de tal manera que a cada número real le corresponda un punto y solo uno de la recta y, recíprocamente, a cada punto de la recta le corresponda un número real; a esta relación se le denomina correspondencia biunívoca.

RECTA NUMÉRICA REAL:

Un punto arbitrario se denomina origen y se asocia con el número real cero "0", el cual no es positivo ni negativo.

Los números del lado derecho del cero (origen), se denominan números reales (racionales e irracionales) positivos.

Los números del lado izquierdo del cero (origen), se denominan números reales (racionales e irracionales) negativos.

Los puntos vinculados con los enteros se establecen al marcar segmentos, de igual longitud, sucesivos en la recta, a cada lado del origen.

Los puntos correspondientes a números racionales, como 1/5 se establecen subdividiendo segmentos de la recta.

Los puntos relacionados con ciertos números racionales, como √2, se pueden ubicar mediante construcción geométrica o aproximación.

Al número asociado con el punto se le denomina coordenada, al conjunto de coordenadas se le denomina sistema coordenado, y a la recta numérica real se le llama línea coordenada.

Ejercicio 1.1:

Identifica en la recta numérica los siguientes números reales:

0/2 -π √2 √(3&-27) 2/5 -0.672 e -5 0.333 ̅… 3 (-1)/6

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES.

En el sistema de los números

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