Calculo Integral

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Si una función y= f(x) posee una derivada en el puntox_1 , la curva tiene una tangente en el punto p(x_1,y_1) cuya pendiente está dada por m= dy/dx |x=x1|=f´(x1) Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente m dada es: y - y_1= m(x-x_1) . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es: y-y_1=dy/dx |x=x1|(x-x_1)

Recordando que sim=0 la recta tangente es horizontal. Si m=∞la recta tangente es vertical. Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él. La condición de perpendicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son m_(1 ) y m_2 es: m_1 m_2=-1 , esto es: m_2=(-1)/m1

Si m_1es la pendiente de una recta tangente y m_2es la pendiente de la recta normal, ellas tienen que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir: m_2=(-1)/m_1 . Usando la derivada nos queda: m_2= (-1)/m_1 = 1/(dy/dx |x=x1| )

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente. Por ser rectas perpendiculares entre sí.

m_a= -1/m_e

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

m_a= - 1/(f^e (a))

Ecuación de la recta normal

La recta normal a una curva en un punto A es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuyo pendiente es igual a la inversa de la opuesta f´(a)

y- f(a)= - 1/(f^e (a)) (x-a)

Ejemplos: calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x= π⁄8

F(x)= ln tg 2x f(π/8) = ln tg 2(π/8)=0

F´(x)= (2(1+tg^2 2x)/(tg 2x) f´(π/8)= (2(1+tg^2 2(π/7)))/(tg 2(π/8))=4

Curvas ortogonales

Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se intersectan en el punto P son ortogonales si el ángulo entre ellas es de 90°, es decir, cuando las rectas tangentes de ambas funciones son en dicho punto son perpendiculares entre sí. Por lo tanto en el punto de intersección de las curvas ambas pendientes.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de la Grange, teorema del valor medio del cálculo diferencial.

Teorema de rolle, veamos ahora un teorema que es fundamental en el desarrollo teórico del cálculo infinitesimal.

Sea y=f(x) una función uniformen de x, continua en todo el intervalo [a,b] (art. 7) y que se anula en los extremos del intervalo, es decir f (a)=0,f(b)=0. Supongamos también que f(x) tiene una deriva f^' (x) en casa punto interior (a<x<b) del intervalo. Entonces la función se representara gráficamente por una curva continua. La intuición geométrica nos dice que inmediatamente que existe por lo menor un valor de x,

comprendido entre a y b, en el que la tangente es paralela al eje de la x (como en p); es decir, la pendiente en este punto es cero.

Teorema de rolle. Si f (x) es continua en el intervalo [a,b] y se anula en sus extremos, y tiene una deriva f^' (x) en punto interior del intervalo entonces existe por lo menos un valor de x comprendido entre a y b en el que f^' (x) es igual a 0.

La de mostración es sencilla. En efecto, f (x) tiene que ser positiva o negativa en algunas partes del intervalo salvo en caso de anularse en todos los puntos (pero en este caso el teorema es evidentemente cierto). Si suponemos que f (x) es positiva en una parte del intervalo, entonces f (x) tendrá un valor máximo en algún punto dentro del intervalo. Igualmente, si f (x) es negativa, tendrá un valor mínimo. Pero si f (x) es máxima o mínima (a<X<b), entonces f^' (X)=0. De otra manera, f (x) aumentaría o disminuiría cuando x pasa por X

un caso en el que el teorema rolle no se aplica. f(x) es continua en todo el intervalo [a,b], pero f'(x) no existe para x=c, sino que se vuelve infinita. En ningún punto de la gráfica la tangente es paralela al aje de las x.

Teorema del valor medio

si f(x) es una funcion continua en el intervalo cerrado a≤x ≤by deribable en el intervalo abierto a<x< b, existe almenos un valor de x,x=x0, comprendido entre a y b en el que se verifica

(f(b)-f(a))/(b-a)= f(x0)

Geometricamente, significa que si P1 y P2 son dos puntos de na curva continua, exixte almenos un punto de la misma comprendido entre P1 y P2 en el cual la tangente es paralela a la recta P1 P2 . (ver la figura 21-3)

El teorema del valor medio admite varias expresiones de gran utilidad:

f(b)=f(a)+(b-a)∙f'(x0), x0 entre a y b

Por un simple cambio de notacion que se llega a

f(x)=f(a)+(x-a)∙f^' (x0), x0 entre a y x

se deduce que x0=a+θ(b-a), siendo 0<θ<1. Efectuando esta situacion (i) adquiere la forma.

f(b)=f(a)+(b-a)∙f^'[a+θ (b-a)] ,0<θ<1

Poniendo (b-a)=h,(III) obtenemos

f(a+h)=F(a)+h∙f^' (a+θh), 0<θ<1

Finalmente, poniendo a=x y h=∆x,(IV) llegamos a

f(x+∆x)=f(x)+∆x∙f^' (x+θ∙∆x), 0<θ<1

5.3 Funciones crecientes y decrecientes. Máximo y mínimo de una función, criterio de la primera y la segunda derivada para máximos y mínimos con comídales y puntos de impleccion.

Esto e para determinar el signo de la primera derivada.

Si el primer signo es + y el segundo -, entonces la función tiene – y el segundo +, entonces se dice que la función tiene un mínimo. Si el signo es el mismo en ambos casos, entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico que se considera.

Estos resultados se resumen en la siguiente regla, que sirve de guía en las aplicaciones.

Primer método para calcular los máximos y mínimos de una función. Regla guía en las aplicaciones.

Primer paso.se halla la primera derivada de la función

Segundo paso. Se igual la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable

Tercer paso.se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primer derivada, en primer lugar para un valor un poco menor* que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente + y después - , la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

En el tercer paso conviene descomponer f `(x) en factores,

*nota: en este caso cuando decimos ``un poco menor`` queremos indicar cualquier valor entre la raíz (valor critico) que se considera y la raíz inferior a ella más próxima; y un “poco mayor” significa cualquier valor entre la raíz que se considera y la próxima mayor.

Segundo método para determinar máximos y mínimos.

Las condiciones suficiente para máximos y mínimos de f (x) correspondientes a valores críticos de la variable son, pues, las siguientes:

F(x) es un máximo si f``(x) = 0 y f ``(x) es negativa.

F (x) es un mínimo si f``(x) = 0 y f ``(x) es positiva.

La regla guía para aplicar este criterio es la siguiente:

Primer paso. Hallar la primera derivada de la función.

Segundo paso. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable.

Tercer paso. Hallar la segunda deriva.

Cuarto paso. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para este valor crítico; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo. Cuando f `` (x) = 0, o bien no existe, dicho procedimiento no es aplicable, aunque todavía puede existir un máximo o un mínimo; en este caso se aplica el primer método, dado en el artículo 47, que es fundamental . Ordinariamente el segundo método es aplicable; y cuando la obtención de la segunda derivada no es demasiado largo, este método es, por lo general, es más conveniente.

Puntos de inflexión para máximos y mínimos.

Para determinar el sentido de la concavidad cerca de un punto de inflexión, basta calcular la f `` (x) para un dado valor.

En dados casos un punto de inflexión cuando atraviesa a un punto es evidente que la tangente atraviesa la curva.

A continuación damos una regla para hallar los puntos de inflexión de la curva cuya ecuación es y = f (x). La regla comprende también instrucciones para examinar el sentido de la concavidad.

Primer paso. Se halla f ``(x)

Segundo paso. Se iguala a cero f ``(x), se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación.

Tercer paso. Se calcula f `` (x), primero para valores de x un poco menores y después un poco mayores, que cada una de las raíces obtenidas en el segundo paso. Si f ``(x) cambia de signo, tenemos un punto de inflexión.

Cuando f ``(x) es positivo, la curva es cóncava hacia arriba + .*

Cuando f ``(x) es negativo, la curva es cóncava hacia abajo _.*

Una manera de recordar fácilmente esta regla es tener presente que una vasija que tiene la forma de la curva cóncava hacia arriba retendrá (+) agua, y que una cóncava hacia abajo derramara (-) agua.

A veces conviene descomponer f `` (x) en factores antes

...