Calculo Vectorial

INTEGRALES TRIPLES

Cuando la función a evaluar está en dependencia de tres variables, la herramienta correspondiente en el cálculo integral se denomina INTEGRAL TRIPLE y aunque carece de significado geométrico, puede utilizarse para aplicaciones físicas tales como masas, cargas y momentos.

Su descripción es comprensible si empezamos sobre una superficie solida rectangular.

Definición (Integral triple)

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.

Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

• 1. Toda función continua es integrable

• 2. Linealidad, monotonía y aditividad

• 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

EJEMPLO 1:

Calcular la integral triple de f(x,y,z) = xy en la región definida por

D = {(x,y,z)  R3 |x2+y2+z2  1, x  0, y  0, z  0.

R/ Nótese que la región de integración es la parte de la esfera de centro en el origen de coordenadas y radio 1 que está contenida en el primer octante, que se muestra en la siguiente figura:

Entonces los límites de integración serán: z entre 0 y √1- x2 – y2 ; y entre 0 y 1 - x2 ; x entre 0 y 1. Entonces:

EJEMPLO 2

 Evaluar , donde es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos , y .

La frontera inferior del tetraedro es el plano y la frontera superior es el plano . Los planos y se cortan en la recta en el plano . Por tanto, la proyección de es la región triangular.

Entonces tenemos

Esta descripción de como una región tipo 1, nos permite evaluar la integral así:

=

INTEGRAL DOBLE CORDENADA CILINDRICA

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z.

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