Calculo Vectorial

INTEGRALES TRIPLES

Cuando la función a evaluar está en dependencia de tres variables, la herramienta correspondiente en el cálculo integral se denomina INTEGRAL TRIPLE y aunque carece de significado geométrico, puede utilizarse para aplicaciones físicas tales como masas, cargas y momentos.

Su descripción es comprensible si empezamos sobre una superficie solida rectangular.

Definición (Integral triple)

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.

Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

• 1. Toda función continua es integrable

• 2. Linealidad, monotonía y aditividad

• 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

EJEMPLO 1:

Calcular la integral triple de f(x,y,z) = xy en la región definida por

D = {(x,y,z)  R3 |x2+y2+z2  1, x  0, y  0, z  0.

R/ Nótese que la región de integración es la parte de la esfera de centro en el origen de coordenadas y radio 1 que está contenida en el primer octante, que se muestra en la siguiente figura:

Entonces los límites de integración serán: z entre 0 y √1- x2 – y2 ; y entre 0 y 1 - x2 ; x entre 0 y 1. Entonces:

EJEMPLO 2

 Evaluar , donde es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos , y .

La frontera inferior del tetraedro es el plano y la frontera superior es el plano . Los planos y se cortan en la recta en el plano . Por tanto, la proyección de es la región triangular.

Entonces tenemos

Esta descripción de como una región tipo 1, nos permite evaluar la integral así:

=

INTEGRAL DOBLE CORDENADA CILINDRICA

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

Ejemplo 1

Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vértices en . Densidad

EJEMPLO 2

ahora despejo para " z " ya que es la función que me da la altura de la siguiente forma:

factorizo un signo menos:

y como sabemos que: entonces

Ahora aplicamos la integral doble:

Ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la esfera.

APLICACIÓN INTEGRALES CILINDRICAS

Las coordenadas cilíndricas se usan para describir sólidos y superficies en R^3 es decir en el espacio, con ellas se puede simplificar las funciones con que se esta trabajando y resolverlo más fácilmente, sobre todo con integrales y derivadas multivariables.

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