Calculo Vectorial

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

DE ALVARADO

INGENIERÍA INDUSTRIAL

Materia:

CALCULO VECTORIAL.

Semestre-Grupo:

4º “B”

Producto Académico:

CURSO DE VERANO

Tema:

INVESTIGACIONES.

Presenta:

CRISTINA CANO AGUILAR

Docente:

ING. JOSE JAVIER ANGEL CASTELAN HERNANDEZ

LERDO DE TEJADA, VER. FEBRERO–JUNIO 2013

CALCULO VECTORIAL

El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones.

Es un enfoque de lageometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

• Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

CAMPO VECTORIAL

Ejemplo de campo vectorial no conservativo cuyo rotacional no se anula.

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad .

EJERCICIOS DE CÁLCULO VECTORIAL

1.- Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.

2.- Dados tres puntos no alineados del espacio, calcular el vector unitario perpendicular al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación el plano que contiene a los tres puntos.

3.- Hallar el área del triángulo que tiene por coordenadas cartesianas los puntos a (1, 3, 4), b (-2, 1, -1) , c(0, -3, 2).

4.- Dado el sistema de cursores:

P1(−3,2,5)−−−−A1(0,1,−2)

P2(2,−3,2)−−−−A2(−1,1,1)

P3(4,0,−3)−−−−A3(3,1,2)

Determinar el momento mínimo y la ecuación del eje central.

5.- Dado el sistema de cursores:

P1(1,0,1)−−−−A1(2,1,2)

P2(2,−1,−2)−−−−A2(1,3,0)

Calcular el cursor que pasando por el origen haga que el sistema sea equivalente a un par. Determinar el momento mínimo del nuevo sistema y la ecuación del eje central.

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

1

Hallar el simétrico del punto A (3, - 2) respecto de M(- 2, 5).

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

2

Dados dos vértices de un triángulo A (2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

Vectores.

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