Calculo.

Introducción

En esta lección quiero que entiendas la importancia de disponer de un “marco de referencia”.

Trataré de explicarme. Para empezar, voy a proponerte unos ejerciciosmuy sencillos.

1. ¿Sabes probar que 0x = 0? Inténtalo.

2. ¿Qué entiendes por −x? ¿Es cierto que −x es negativo?

3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad (−x)y = −xy. ¿Sabes probarla?

4. Demuestra que si x , 0 entonces x2 > 0 (en consecuencia 1 > 0).

5. ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?

6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud √2. ¿Y de longitud √3?

7. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que √2 no es racional.

Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que has

olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te piden que las demuestres! Puedo imaginar tu reacción

¿que demuestre que 0x = 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así!

¿cómo se puede demostrar tal cosa?.

Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exactamente

lo que se te pide que hagas; no te dan unmarco claro de referencia. En estas situaciones

lo más frecuente es “quedarse colgado” con la mente en blanco sin saber qué hacer. Para evitar

ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en

unas propiedades de los números (axiomas, si quieres llamarlas así) que vamos a aceptar como

punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lógica

usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) que

podremos usar para seguir avanzando. Simplificando un poco, puede decirse que enmatemáticas

no hay nadamás que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones

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Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 2

indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0x = 0 es un teorema.

Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente importantes

y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario,

lema, proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en

un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia

lógica.

Es conveniente recordar las propiedades de los números reales porque son ellas las que

nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades.

Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate

que algunos de los conceptosmás importantes del Cálculo se definenmediante desigualdades

(por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto).

Por ello, tan importante como saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender

a manejar correctamente desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante

numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente

las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan

correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos

que proceder en cada caso particular.

1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números:

Los números naturales 1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa por N.

Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.

Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto

representamos por Q.

También conocéis otros números como √2, p, o el número e que no son números racionales

y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues

bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto

de los números reales y se representa por R.

Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, nomerece la pena, al

menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante

es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número √2 es que su cuadrado es igual a 2.

Pues bien, una de las cosasmás llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo

de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades

básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden

hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe

x+y,

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